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$c={\frac {k}{2}}.{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(\beta +\alpha )\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(\beta -\alpha )}}.$

Dans la recherche de toutes ces formules, nous avons tacitement supposé que la section était elliptique, ou qu’on avait $\beta >\alpha \,;$ mais elles subsisteraient encore si la section était hyperbolique ou parabolique ; il arriverait seulement, dans le premier cas, que $b$ serait imaginaire, et dans le second que $a,b$ et $e$ seraient infinis.

Nous avons donc complètement résolu le problème que nous nous étions proposé, et des formules que nous avons obtenues, il serait aisé de conclure la solution de ce problème inverse : Par quel point de l’axe d’un cône droit et sous quel angle faut-il conduire un plan, pour qu’il en résulte une section conique de dimensions données ?

III. En nous occupant de la question proposée, nous avons rencontré un théorème assez curieux, que nous allons préalablement démontrer, et que l’on peut énoncer comme il suit :

THÉORÈME. Si l’on projette orthogonalement, sur un plan quelconque perpendiculaire à l’axe d’un cône droit, une section plane quelconque faite dans ce cône, le point d’intersection de son axe avec le plan de la projection sera le foyer de cette projection^[1].

Démonstration. La démonstration de ce théorème est très-facile à déduire des formules précédemment obtenues. En désignant, en effet, par $2a'$ et $2b'$ les deux axes de la projection, nous aurons

$a'=a\operatorname {Sin} .\beta ,\qquad b'=b\,;$

c’est-à-dire, en substituant,

$a'=k.{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Cos} .\alpha \operatorname {Sin} .^{2}\beta }{\operatorname {Sin} .(\beta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\beta -\alpha )}},\quad b'=k.{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta }{\sqrt {\operatorname {Sin} .(\beta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\beta -\alpha )}}}.$

1. Il serait curieux d’examiner si, en projetant obliquement une section faite dans un cône oblique, sur le plan de sa base, par des parallèles à la droite qui joint son sommet au centre de cette base, ce centre ne serait pas le foyer de la projection.
   J. D. G.