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En désignant donc par $e'$ l’excentricité de cette projection, nous aurons

$e'^{2}=a'^{2}-b'^{2}=k^{2}.{\frac {\operatorname {Sin} .^{4}\alpha \operatorname {Sin} .^{2}\beta \operatorname {Cos} .^{2}\beta }{\operatorname {Sin} .^{2}(\beta +\alpha )\operatorname {Sin} .^{2}(\beta -\alpha )}}\,;$

d’où

$e'=k.{\frac {\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Cos} .\beta }{\operatorname {Sin} .(\beta +\alpha )\operatorname {Sin} .(\beta -\alpha )}},\quad$et$\quad {\frac {e'}{a'}}={\frac {\operatorname {Tang} .\alpha }{\operatorname {Tang} .\beta }}.$

Si ensuite on représente par $c'$ la distance d’un sommet au foyer le plus voisin, on aura

$c'=a'-e'=k.{\frac {\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta }{\operatorname {Sin} .(\beta +\alpha )}}=\mathrm {CG} \operatorname {Sin} .\beta \,;$

cette distance sera donc la projection de $\mathrm {CG}$ sur le plan dont il s’agit ; or, la projection de $\mathrm {G}$ sera le sommet de la courbe ; donc le point $\mathrm {C}$ en sera le foyer.

IV. Venons présentement à la question qui a été proposée ; et remarquons d’abord que, comme l’on sait déterminer la surface convexe et le volume du demi-cône dont l’onglet fait partie, toute la question se réduit à savoir évaluer la surface convexe et le volume de ce qui reste de ce demi-cône lorsqu’on en a retranché l’onglet. Il ne s’agit même que de la seule évaluation de la surface convexe de ce corps ; car, pour en avoir le volume, il suffit évidemment de multiplier cette surface par le tiers de la perpendiculaire abaissée du centre de la base du cône sur l’une quelconque de ses arêtes, laquelle a pour expression $k\operatorname {Sin} .\alpha .$

Mais, d’après ce que nous avons remarqué (I), pour avoir l’aire de cette surface, il suffit de diviser par $\operatorname {Sin} .\alpha$ l’aire de sa projection que nous venons de voir être une section conique dont le foyer est en $\mathrm {C} \,;$ la question se trouve donc ramenée à déterminer l’aire d’un segment de section conique qui a pour corde le paramètre.

Or, il est connu que, ${\frac {1}{n}}$ désignant le rapport de l’excentricité au demi-grand axe, et $a'$ ce demi-grand axe, l’aire d’un tel segment est, pour l’ellipse,