en divisant alors ses deux membres, par
elle prendra finalement cette forme très-simple
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}{\frac {Q-q}{\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}}={\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} y}}{\frac {P-p}{\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}}.\qquad (\varepsilon )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cbf542ac33700b938e65d752bcfec4f14a1d8cd8)
Il faudra donc que cette équation soit immédiatement identique, ou du moins qu’elle devienne, après en avoir chassé
et ses coefficiens différentiels, au moyen de l’équation (S), pour que les droites (D) dont le faisceau se compose puissent être traversées orthogonalement par une même surface. L’équation de condition
peut être regardée comme fondamentale, dans les recherches qui vont présentement nous occuper.
Faisons-en l’application au faisceau de droites données par les trois équations
![{\displaystyle x+y+z=c,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f6cf540e39f0e472ed3b4b86404f7c34f18f3267)
![{\displaystyle X-x+{\frac {2y-x}{z-c}}(Z-z)=0,\qquad Y-y+{\frac {2x-y}{z-c}}(Z-z)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9e257003dd4dca363279d7f6bb17f7fb3a95c2)
Ayant ici
![{\displaystyle P={\frac {2y-x}{z-c}},\qquad Q={\frac {2x-y}{z-c}},\qquad p=q=-1,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa44f3ee51c3f5c2301241b53147025065b7adc1)
il viendra
![{\displaystyle P-p={\frac {(z-c)+(2y-x)}{z-c}},\qquad Q-q={\frac {(z-c)+(2x-y)}{z-c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3da95c6d577225d6c149c76370f2ed1588d82352)
![{\displaystyle {\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}={\frac {\sqrt {(2x-y)^{2}+(2y-x)^{2}+(z-c)^{2}}}{z-c}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb9d87fa649f10733a33502b368cb89ecc95e9cb)
et par suite