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en divisant alors ses deux membres, par $\left(1+P^{2}+Q^{2}\right)^{\frac {3}{2}},$ elle prendra finalement cette forme très-simple

${\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}{\frac {Q-q}{\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}}={\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} y}}{\frac {P-p}{\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}}.\qquad (\varepsilon )$

Il faudra donc que cette équation soit immédiatement identique, ou du moins qu’elle devienne, après en avoir chassé $z$ et ses coefficiens différentiels, au moyen de l’équation (S), pour que les droites (D) dont le faisceau se compose puissent être traversées orthogonalement par une même surface. L’équation de condition $(\varepsilon )$ peut être regardée comme fondamentale, dans les recherches qui vont présentement nous occuper.

Faisons-en l’application au faisceau de droites données par les trois équations

$x+y+z=c,$

$X-x+{\frac {2y-x}{z-c}}(Z-z)=0,\qquad Y-y+{\frac {2x-y}{z-c}}(Z-z)=0.$

Ayant ici

$P={\frac {2y-x}{z-c}},\qquad Q={\frac {2x-y}{z-c}},\qquad p=q=-1,$

il viendra

$P-p={\frac {(z-c)+(2y-x)}{z-c}},\qquad Q-q={\frac {(z-c)+(2x-y)}{z-c}},$

${\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}={\frac {\sqrt {(2x-y)^{2}+(2y-x)^{2}+(z-c)^{2}}}{z-c}},$

et par suite