![{\displaystyle {\frac {P-p}{\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}}={\frac {(z-c)+(2y-x)}{\sqrt {(2x-y)^{2}+(2y-x)^{2}+(z-c)^{2}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/992834d951d20b21bcfd8c533d9ac59e5b249867)
![{\displaystyle {\frac {Q-q}{\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}}={\frac {(z-c)+(2x-y)}{\sqrt {(2x-y)^{2}+(2y-x)^{2}+(z-c)^{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7e41135d825cf8001f38203481167b5cdc7ae2b2)
cela donne
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} y}}{\frac {P-p}{\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22b4bb7beef40b904a10dde73344622bfdfbacb3)
![{\displaystyle {\frac {2(z-c)^{2}-\left\{(2y-x)q+(5y-4x)\right\}(z-c)+\left\{\left(6x^{2}-8xy-5y^{2}\right)q+3x(2x-y)\right\}}{\left\{(2x-y)^{2}+(2y-x)^{2}+(z-c)^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d83fd937fa49f804ad85ffa6b0f74b1488bf7cf)
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} x}}{\frac {Q-q}{\sqrt {1+P^{2}+Q^{2}}}}=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/86a3cad121a387313bcc9928a5d077464a3dc069)
![{\displaystyle {\frac {2(z-c)^{2}-\left\{(2x-y)p+(5x-4y)\right\}(z-c)+\left\{\left(6y^{2}-8xy-5x^{2}\right)p+3y(2y-x)\right\}}{\left\{(2x-y)^{2}+(2y-x)^{2}+(z-c)^{2}\right\}^{\frac {3}{2}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/865e07bfaf53ff381f5c8a6a52d0392565c74abd)
résultats qui, en y mettant pour
et
leurs valeurs
et pour
sa valeur
se réduisent également à
![{\displaystyle {\frac {9xy}{\left\{6\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)\right\}^{\frac {3}{2}}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5247525b74aef6dfc258531fdd4e9ed49e46cafc)
ce qui nous apprendrait, si nous ne le savions déjà, que les droites dont ce faisceau se compose peuvent être traversées orthogonalement par une même surface.
§. II.
Démonstration des théorèmes de Malus.
10. Reprenons le faisceau de droites donné par les trois équations
![{\displaystyle z=\operatorname {f} (x,y).\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17fc4a0fa2f1b7010ea1d81718ce959611a09da5)
(S)
![{\displaystyle X-x+P(Z-z)=0,\qquad Y-y+Q(Z-z)=0,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d48de128359c246f8fcb481b2931462792149d2)
(D)
et concevons que les variables indépendantes
et
reçoivent respectivement les accroissemens simultanés
et
dans lesquels ![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)