Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/165

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départ, hors de la direction de cette première courbe, mais d’ailleurs si rapproché d’elle qu’on le voudra ; il passera par ce second point une nouvelle courbe, intersection de cette base avec une seconde surface développable, dont les élémens rectilignes seront encore des droites du faisceau, toutes conséquemment tangentes à une seconde courbe à double courbure. Il en sera évidemment de même pour un troisième point de (S), pris hors de la direction des deux premières courbes, pour un quatrième, pris hors de la direction des trois premières, et ainsi indéfiniment ; quelque rapprochés d’ailleurs les uns des autres que ces points soient supposés. Il n’en faut pas davantage pour conclure qu’à quelque loi mathématique que puissent être assujetties des droites se succédant sans interruption les unes aux autres dans l’espace, ces droites se distribuent constamment en une série continue de surfaces développables dont elles sont les élémens rectilignes. Les arêtes de rehaussement de ces surfaces développables sont, à leur tour, les élémens curvilignes d’une certaine surface, à laquelle toutes les droites du faisceau doivent être tangentes.

13. Cherchons le plan tangent suivant (D) à la surface développable qui passe par cette droite. Ce plan est différent du plan qui passe par les deux droites (D) et (D‴) ; mais, à mesure que la longueur arbitraire décroîtra, et qu’ainsi (D′) marchera vers (D), toujours sous la condition ce plan tournera sur (D), comme sur un axe, de manière à faire un angle de plus en plus petit avec le plan tangent cherché. Il se confondra donc enfin avec ce dernier, lorsque la longueur sera devenue tout-à-fait nulle.

Remarquons aussi que (D′) marchant vers (D), sous la condition leur point d’intersection marchera le long de (D), en s’approchant sans cesse du point de contact de cette droite avec l’arête de rebroussement de la surface développable dont elle fait partie ; de sorte que le point deviendra ce point de contact lui-même, lorsque la longueur sera tout-à-fait nulle.

Mais, lorsque on a simplement (10)