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$\gamma =p\alpha +q\beta ,\quad G={\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\beta ,\quad H={\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}\beta \,;$

l’équation de condition $(\zeta )$ devient donc alors

$\left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\beta \right)\left\{pQ\alpha +(1+qQ)\beta \right\}=\left({\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}\beta +{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\alpha \right)\left\{qP\beta +(1+pP)\alpha \right\}.(\iota )$

Les mêmes valeurs de $\gamma ,G,H,$ substituées dans les équations $(\eta )$ et $(\theta ),$ en faisant en outre dans les dernières $i=0,$ donnent, pour l’équation du plan tangent suivant (D) à la surface développable qui passe par cette droite

$(Q\alpha -P\beta )(Z-z)=$

$\left\{pQ\alpha +(1+qQ)\beta \right\}(X-x)-\left\{qP\beta +(1+pP)\alpha \right\}(Y-y),\quad (\varkappa )$

et ensuite pour les équations du point de contact de (D) avec l’arête de rebroussement de cette surface, et par suite avec la surface à laquelle toutes les droites du faisceau sont tangentes,

$\left.{\begin{array}{c}X-x=-P.{\frac {qP\beta +(1+pP)\alpha }{{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\beta }},\qquad Y-y=-Q.{\frac {pQ\alpha +(1+qQ)\beta }{{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}\beta }}\\\\Z-z=+{\frac {qP\beta +(1+pP)\alpha }{{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\beta }}=+{\frac {pQ\alpha +(1+qQ)\beta }{{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}\beta }}.\end{array}}\right\}\quad (\lambda )$

Il ne s’agira donc plus, pour obtenir ces résultats en simples fonctions de $x,y,z,p,q,P,Q,$ que de substituer dans les formules $(\chi )$ et $(\lambda ),$ la valeur de l’un quelconque des deux nombres $\alpha$ et $\beta ,$ tirée de l’équation $(\iota ),$ ce qui en fera aussi disparaître l’autre.

14. Mais, parce que l’équation $(\iota )$ est du second degré en $\alpha$ et $\beta ,$ elle donnera, généralement parlant, pour l’un de ces deux nombres, en fonction de l’autre, deux valeurs distinctes, lesquelles, substituées