![{\displaystyle \gamma =p\alpha +q\beta ,\quad G={\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\beta ,\quad H={\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}\beta \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5adc4289d6a11f10531f933877b17cde210c22cc)
l’équation de condition
devient donc alors
![{\displaystyle \left({\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\beta \right)\left\{pQ\alpha +(1+qQ)\beta \right\}=\left({\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}\beta +{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\alpha \right)\left\{qP\beta +(1+pP)\alpha \right\}.(\iota )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6ac273ec161a2a26e36fe76a7199264fa4b06b81)
Les mêmes valeurs de
substituées dans les équations
et
en faisant en outre dans les dernières
donnent, pour l’équation du plan tangent suivant (D) à la surface développable qui passe par cette droite
![{\displaystyle (Q\alpha -P\beta )(Z-z)=}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e9c78c614323503c7b40480f70ac8e45a2f7fde)
![{\displaystyle \left\{pQ\alpha +(1+qQ)\beta \right\}(X-x)-\left\{qP\beta +(1+pP)\alpha \right\}(Y-y),\quad (\varkappa )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e56e8642ea56f7a258aaa9070a152e69f8ba4c0)
et ensuite pour les équations du point de contact de (D) avec l’arête de rebroussement de cette surface, et par suite avec la surface à laquelle toutes les droites du faisceau sont tangentes,
![{\displaystyle \left.{\begin{array}{c}X-x=-P.{\frac {qP\beta +(1+pP)\alpha }{{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\beta }},\qquad Y-y=-Q.{\frac {pQ\alpha +(1+qQ)\beta }{{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}\beta }}\\\\Z-z=+{\frac {qP\beta +(1+pP)\alpha }{{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\beta }}=+{\frac {pQ\alpha +(1+qQ)\beta }{{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\alpha +{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}\beta }}.\end{array}}\right\}\quad (\lambda )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00ea8f996ca9620d79c9adb0131e65c749b03516)
Il ne s’agira donc plus, pour obtenir ces résultats en simples fonctions de
que de substituer dans les formules
et
la valeur de l’un quelconque des deux nombres
et
tirée de l’équation
ce qui en fera aussi disparaître l’autre.
14. Mais, parce que l’équation
est du second degré en
et
elle donnera, généralement parlant, pour l’un de ces deux nombres, en fonction de l’autre, deux valeurs distinctes, lesquelles, substituées