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$1+qQ={\frac {(z-c)-(2x-y)}{z-c}},\qquad pQ=-{\frac {2x-y}{z-c}},$

$1+pP+qQ={\frac {(z-c)-(x+y)}{z-c}},$

${\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}=-{\frac {(z-c)+p(2y-x)}{(z-c)^{2}}}=-{\frac {(z-c)-(2y-x)}{(z-c)^{2}}},\\\\&{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}=-{\frac {(z-c)+q(2x-y)}{(z-c)^{2}}}=-{\frac {(z-c)-(2x-y)}{(z-c)^{2}}},\\\\&{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}={\frac {2(z-c)-q(2y-x)}{(z-c)^{2}}}={\frac {2(z-c)+(2y-x)}{(z-c)^{2}}},\\\\&{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}={\frac {2(z-c)-p(2x-y)}{(z-c)^{2}}}={\frac {2(z-c)+(2x-y)}{(z-c)^{2}}},\end{aligned}}$

et de là

${\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}=-3.{\frac {(z-c)+(x+y)}{(z-c)^{3}}}.$

Au moyen de ces valeurs, l’équation $(\xi )$ devient

$3\left\{(z-c)+(x+y)\right\}(Z-z)^{2}-2(z-c)\left\{(z-c)-(2x+y)\right\}(Z-z)$

$-(z-c)^{2}\left\{(z-c)-(x+y)\right\}=0\,;$

et il ne s’agit plus que d’éliminer $x,y,z$ ou, ce qui revient au même $x,y,z-c$ entre elle et les trois équations du faisceau. Mais on peut remarquer auparavant que cette équation se décompose comme il suit :

$\left\{3(Z-z)+(z-c)\right\}\left\{\left[(z-c)+(x+y)\right](Z-z)-(z-c)\left[(z-c)-(x+y)\right]\right\}=0$

En égalant d’abord le premier facteur à zéro, il viendra

$3(Z-c)-2(z-c)=0,$