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d’où, en multipliant membre à membre, réduisant et ordonnant par rapport à $Z-z,$

\left.{\begin{array}{c}\left\{{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}\right\}(Z-z)^{2}\\\\-\left\{(1+pP){\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} y}}+(1+qQ){\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} x}}-qP{\frac {\operatorname {d} Q}{\operatorname {d} x}}-pQ{\frac {\operatorname {d} P}{\operatorname {d} y}}\right\}(Z-z)\\\\+(1+pP+qQ)=0.\end{array}}\right\}\quad (\xi )

Dans cette équation, la coordonnée $Z$ appartient toujours au point de contact qui d’ailleurs, se trouvant sur (D), doit satisfaire à ses équations. La recherche de l’équation du lieu des points de contact, c’est-à-dire, de l’équation de la surface à laquelle chacune des droites du faisceau se trouve deux fois tangente, se réduira donc simplement à éliminer $x,y,z$ entre l’équation (S), les deux équations (D) et l’équation $(\xi ).$ C’est le procédé que nous avons promis (7).