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Pour appliquer ces généralités à un exemple, proposons-nous de rechercher quelle devrait être une surface réfléchissante pour que les rayons incidens et les rayons réfléchis fussent respectivement normaux à deux surfaces cylindriques, données par les équations

$(x'+z'-c)^{2}+(y'+z'-c)^{2}+(x'-y')^{2}=r'^{2},$

$(5x''+z''-c)^{2}+(5y''+z''-c)^{2}+(x''-y'')^{2}=r''^{2}.$

Nous savons déjà, (5) et (29), qu’on aura ici

${\begin{array}{ll}P'=-{\frac {(z-c)+(2x-y)}{2(z-c)+(x+y)}},&Q'=-{\frac {(z-c)+(2y-x)}{2(z-c)+(x+y)}},\\\\P''=-{\frac {5(z-c)+(26x+y)}{2(z-c)+5(x+y)}},&Q''=-{\frac {5(z-c)+(26y+x)}{2(z-c)+5(x+y)}}\,;\end{array}}$

et par suite

${\begin{aligned}&{\sqrt {1+P'^{2}+Q'^{2}}}={\frac {\sqrt {6\left\{(z-c)^{2}+(x+y)(z-c)+\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)\right\}}}{2(z-c)+(x+y)}},\\\\&{\sqrt {1+P''^{2}+Q''^{2}}}={\frac {3{\sqrt {6\left\{(z-c)^{2}+5(x+y)(z-c)+\left(13x^{2}-xy+13y^{2}\right)\right\}}}}{2(z-c)+5(x+y)}}.\end{aligned}}$

Ces valeurs étant substituées dans l’équation $(\varphi ),$ on obtiendra, pour l’équation différentielle de la surface cherchée,

${\begin{aligned}&{\frac {\left\{(z-c)+(2x-y)\right\}\operatorname {d} x+\left\{(z-c)+(2y-x)\right\}\operatorname {d} y+\left\{2(z-c)+(x+y)\right\}\operatorname {d} z}{\sqrt {6\left\{(z-c)^{2}+(x+y)(z-c)+\left(x^{2}-xy+y^{2}\right)\right\}}}}\\\\=-&{\frac {\left\{5(z-c)+(26x-y)\right\}\operatorname {d} x+\left\{5(z-c)+(26y-x)\right\}\operatorname {d} y+\left\{2(z-c)+(x+y)\right\}\operatorname {d} z}{3{\sqrt {6\left\{(z-c)^{2}+5(x+y)(z-c)+\left(13x^{2}-xy+13y^{2}\right)\right\}}}}}.\end{aligned}}$

En multipliant ses deux membres par ${\sqrt {6}},$ cette équation revient à