Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/192

$\left.{\begin{aligned}&p={\frac {\lambda 'P''{\sqrt {1+P'^{2}+Q'^{2}}}\mp \lambda ''P'{\sqrt {1+P''^{2}+Q''^{2}}}}{\lambda '{\sqrt {1+P'^{2}+Q'^{2}}}\mp \lambda ''{\sqrt {1+P''^{2}+Q''^{2}}}}},\\\\&q={\frac {\lambda 'Q''{\sqrt {1+P'^{2}+Q'^{2}}}\mp \lambda ''Q'{\sqrt {1+P''^{2}+Q''^{2}}}}{\lambda '{\sqrt {1+P'^{2}+Q'^{2}}}\mp \lambda ''{\sqrt {1+P''^{2}+Q''^{2}}}}}\,;\end{aligned}}\right\}\quad (\nu )$

en se rappelant toujours que, pour le cas de la réfraction, il faut prendre les signes supérieurs, tandis que, pour celui de la réflexion, ce sont au contraire les signes inférieurs qu’il faut prendre, en posant $\lambda ''=\lambda '.$ Substituant donc, dans ces deux formules, les valeurs de $P',Q',P'',Q''$ en $x,y,z,$ obtenues par le procédé qui vient d’être indiqué plus haut, si alors l’équation

$\operatorname {d} z=p\operatorname {d} x+q\operatorname {d} y\qquad (\operatorname {d} \mathrm {s} )$

est intégrable, son intégrale

$z=\operatorname {f} (x,y)\qquad$(s)

sera l’équation de la surface réfléchissante ou séparatrice cherchée.

Si l’on introduit dans l’équation $(\operatorname {\mathrm {s} } )$ les valeurs de $p$ et $q,$ données par les formules $(\nu ),$ et qu’après avoir chassé les dénominateurs on rassemble les termes affectés des mêmes radicaux, on pourra donner à l’équation résultante la forme suivante, beaucoup plus commode pour les applications,

${\frac {\operatorname {d} z-P'\operatorname {d} x-Q'\operatorname {d} y}{\lambda '{\sqrt {1+P'^{2}+Q'^{2}}}}}=\pm {\frac {\operatorname {d} z-P''\operatorname {d} x-Q''\operatorname {d} y}{\lambda ''{\sqrt {1+P''^{2}+Q''^{2}}}}}.\qquad (\varphi )$

Il faudra, pour la réfraction, prendre le signe supérieur du second membre, tandis que, pour la réflexion, on prendra son signe inférieur, en posant $\lambda ''=\lambda ',$