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d’où l’on conclura que, comme le premier membre ne renferme pas de différentielles de $x$ et $y$ d’un ordre plus élevé que $x_{m},y_{n},$ la partie du second membre comprise entre les crochets ne saurait renfermer de différentielles des mêmes variables d’un ordre supérieur à $x_{m-1}$ et $y_{n-1}\,;$ et que, par conséquent, il est possible de trouver une fonction $P_{i}$ de $x_{i},x_{i+1},\ldots ,x_{m-1},y,y_{1},y_{2},$$y_{3},\ldots ,y_{n-1}$ qui satisfasse à l’équation

${\frac {\operatorname {d} P_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}={\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i+3}}}-\ldots \mp \operatorname {d} ^{m-i-1}{\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{m}}},$

au moyen de laquelle nous aurons, en ayant égard à l’équation (5),

${\frac {\operatorname {d} u_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}=A_{i}+\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} P_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}=A_{i}+{\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}},$

et par suite

$u_{i}=A_{i}x_{i}+p_{i}+u_{i+1},\qquad$(8)

en désignant par $u_{i+1},$ une fonction de $x_{i+1},x_{i+2},\ldots ,x_{m},y,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}$ qu’il faudra déterminer d’une manière convenable.

Substituant cette valeur de $u_{i}$ dans l’équation (7) et observant, équation (6), que, puisque $p_{i}$ est une différentielle exacte, on doit avoir identiquement,

$0={\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{i}}}-\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{m-i}{\frac {\operatorname {d} p_{i}}{\operatorname {d} x_{m}}},$

nous trouverons, réductions faites,

$0=\operatorname {d} .{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}-\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}+\operatorname {d} ^{3}{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+3}}}-\ldots \mp \operatorname {d} ^{m-i}{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{m}}},$

ou, en intégrant