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$A_{i+1}={\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+1}}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+2}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{i+3}}}-\ldots \mp \operatorname {d} ^{m-i-1}{\frac {\operatorname {d} u_{i+1}}{\operatorname {d} x_{m}}}\,;$

ce qui fait voir que $u_{i+1}$ est entièrement de même nature que $u_{i}.$

Cela posé, si $u$ est une fonction de $x,x_{1},x_{2},\ldots ,x_{m},y,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n},$ qui satisfasse à la condition

$0={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x_{1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x_{2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{m}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} x_{m}}},$

nous en tirerons, par des opérations analogues à celles qui viennent de nous conduire à l’équation (8)

${\begin{aligned}u&=p+u_{1},\\\\u_{1}&=A_{1}x_{1}+p_{1}+u_{2},\\\\u_{2}&=A_{2}x_{2}+p_{2}+u_{3},\\\\u_{3}&=A_{3}x_{3}+p_{3}+u_{4},\\\\\ldots &\ldots \ldots \ldots \\u_{m-1}&=A_{m-1}x_{m-1}+p_{m-1}+u_{m},\\\\u_{m}&=A_{m}x_{m}+p_{m}+Y\,;\end{aligned}}$

$Y$ étant, dans la dernière, une fonction de $y,y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n}$ seulement.

Ajoutant ces diverses équations, et faisant, pour abréger,

$q=A_{1}x_{1}+A_{2}x_{2}+A_{3}x_{3}+\ldots +A_{m}x_{m}$

$+p_{1}+p_{2}+p_{3}+\ldots +p_{m},$

nous trouverons enfin