![{\displaystyle u=q+Y,\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4dd86eb60928443b3efa580149f71f5070d8ee16)
(9)
dans laquelle
est évidemment une différentielle exacte, puisque chacun des termes dont cette fonction se compose est une semblable différentielle.
Si
ne renfermait ni
ni ses dérivées
la fonction que nous avons représentée par
serait constante et par conséquent nulle, sans quoi
serait composée de termes hétérogènes, ce qui ne peut jamais avoir lieu, ainsi
serait alors une différentielle exacte.
Si, au contraire,
renfermait
et ses dérivées
mais qu’elle rendît identique l’équation
![{\displaystyle 0={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y_{1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y_{2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/236009ca9237999ed0190959f6a1359110c3b387)
la fonction
pourrait ne pas être nulle ; mais, en substituant dans cette équation la valeur de
que nous venons de donner, et observant que, puisque
est une différentielle exacte, l’on a
![{\displaystyle 0={\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} y}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} y_{1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} y_{2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{n}{\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} y_{n}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3e951b85a1b6d0cb679213ccdb2435bbe966a7d5)
nous trouverions, réductions faites,
![{\displaystyle 0={\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y_{1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y_{2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{n}{\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y_{n}}}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8aa2e2ee364b4db7f659323080b88f87c6145f4)
et de là on conclut, comme ci-dessus, que, puisque
ne renferme que
et ses dérivées
cette fonction
est nécessairement une différentielle exacte, de sorte que, dans ce cas comme dans le précédent,
est encore une différentielle exacte.
Pour simplifier la question, nous avons supposé que toutes ces fonctions ne renfermaient que deux variables
et
et leurs dé-