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$u=q+Y,\qquad$(9)

dans laquelle $q$ est évidemment une différentielle exacte, puisque chacun des termes dont cette fonction se compose est une semblable différentielle.

Si $u$ ne renfermait ni $y$ ni ses dérivées $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots y_{n},$ la fonction que nous avons représentée par $Y$ serait constante et par conséquent nulle, sans quoi $u$ serait composée de termes hétérogènes, ce qui ne peut jamais avoir lieu, ainsi $u$ serait alors une différentielle exacte.

Si, au contraire, $u$ renfermait $y$ et ses dérivées $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots y_{n},$ mais qu’elle rendît identique l’équation

$0={\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y_{1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y_{2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{n}{\frac {\operatorname {d} u}{\operatorname {d} y_{n}}},$

la fonction $Y$ pourrait ne pas être nulle ; mais, en substituant dans cette équation la valeur de $u$ que nous venons de donner, et observant que, puisque $q$ est une différentielle exacte, l’on a

$0={\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} y}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} y_{1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} y_{2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{n}{\frac {\operatorname {d} q}{\operatorname {d} y_{n}}},$

nous trouverions, réductions faites,

$0={\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y}}-\operatorname {d} {\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y_{1}}}+\operatorname {d} ^{2}{\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y_{2}}}-\ldots \pm \operatorname {d} ^{n}{\frac {\operatorname {d} Y}{\operatorname {d} y_{n}}}\,;$

et de là on conclut, comme ci-dessus, que, puisque $Y$ ne renferme que $y$ et ses dérivées $y_{1},y_{2},y_{3},\ldots y_{n},$ cette fonction $Y$ est nécessairement une différentielle exacte, de sorte que, dans ce cas comme dans le précédent, $u$ est encore une différentielle exacte.

Pour simplifier la question, nous avons supposé que toutes ces fonctions ne renfermaient que deux variables $x$ et $y$ et leurs dé-