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$(x+a)^{m}=(x+a)\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}\,;\qquad$(3)

d’où il suit, en comparant (3) à (1) que tout se réduit à prouver que

$(x+a)\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\}.\qquad$(4)

Or, en faisant, tour à tour, la multiplication par $x$ et par $a,$ et prenant les termes généraux correspondans des deux produits, on trouve

${\begin{aligned}x\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}&=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\},\\\\a\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}&=\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu -1)a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\}\,;\end{aligned}}$

donc, en ajoutant

$(x+a)\Sigma \left\{\operatorname {f} (m-1,\mu )a^{\mu -1}x^{m-\mu }\right\}$

$=\Sigma \left\{\left[\operatorname {f} (m-1,\mu )+\operatorname {f} (m-1,\mu -1)\right]a^{\mu -1}x^{m-\mu +1}\right\}$(5)

or, il est très-facile de s’assurer que

$\operatorname {f} (m-1,\mu )+\operatorname {f} (m-1,\mu -1)=\operatorname {f} (m,\mu )\,;$

donc l’équation (4), et par suite l’équation (1) se trouve pleinement justifiée^[1].

1. On a déjà donné dans ce recueil (tom. II, p. 207) une démonstration de la formule du binome, indépendante, comme celle-ci, de la théorie des combinaisons.
   J. D. G.