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Démonstration des deux théorèmes de géométrie énoncés
à la page 63 du présent volume ;

Par MM. Vecten, licencié es sciences,
Par MM. Querret, ancien chef d’institution,
Par MM. Vernier, professeur au collége royal de Caen,
Par MM. Et Ch. Sturm.

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Les géomètres qui nous ont adressé des démonstrations de ces deux élégans théorèmes les ont tous démontrés géométriquement ; M. Sturm, à qui ils sont dûs, a seul accompagné la sienne d’une démonstration analitique. Les démonstrations géométriques ne différant guère que par la forme, nous les fondrons, pour abréger, dans une rédaction commune. Nous donnerons ensuite la démonstration analitique de M. Sturm.

LEMME. Si, par un point $\mathrm {P} ,$ pris arbitrairement sur le plan d’un polygone rectiligne fermé quelconque, de $\mathrm {n}$ côtés, $\mathrm {ABC,\ldots LMN} ,$ et par chacun de ses sommets on mène des droites indéfinies $\mathrm {PA,PB,PC,\ldots PL,PM,PN} \,;$ chacune d’elles, par ses $\mathrm {n-2}$ intersections avec les directions des côtés du polygone non adjacens au sommet quelle contient, déterminera, sur chacun de ces côtés, deux segmens, comptés du point où elle coupera sa direction à ses deux extrémités. Or, si l’on forme le produit des segmens déterminés sur les côtés consécutifs $\mathrm {AB,BC,CD,\ldots LM,MN,NA} ,$ à partir des sommets $\mathrm {A,B,C,\ldots L,M,N} ,$ respectivement, lesquels sont au nombre de $\mathrm {n(n-2),}$ ce pro-