Si l’on veut savoir, par exemple, à quelle valeur de répond le plus grand rayon vecteur, il faudra égaler à zéro la différentielle de prise par rapport à cela donnera finalement
Le premier de ces deux facteurs égalé à zéro donne imaginaire ; l’autre est la fonction que nous avons déjà employée ci dessus, et nous fait retrouver nos quatre points extérieurs à l’ellipse.
En discutant le cours de la courbe aux environs de ces quatre points on reconnaît aisément que ce sont des points de rebroussement ; et, pour se faire une idée de la manière dont ils se lient avec le reste de la courbe, on peut recourir à la construction suivante :
Soit inscrit à un cercle un rectangle tel que ses petits côtés soient moindres que le rayon ou la corde de degrés ; l’excès du cercle sur le rectangle sera le système de quatre segmens égaux et opposés deux à deux, ayant pour cordes les côtés de ce rectangle. Que l’on fasse faire à ces segmens une demi-révolution autour de leurs cordes respectives, en les repliant dans l’intérieur du rectangle ; en supprimant alors les cordes, les quatre arcs restans formeront par leur assemblage une courbe ayant deux nœuds et quatre points de rebroussement qui sera assez semblable à la courbe dont il s’agit, lorsque les quatre sommets de l’ellipse correspondent aux milieux des quatre arcs. Mais il ne faut pas perdre de vue que les nœuds et les points de rebroussement n’ont lieu qu’autant que le demi-petit axe de l’ellipse proposée est moindre que son excentricité.
Toute la discussion que l’on vient de lire s’applique littéralement à l’hyperbole, pourvu que l’on change en et qu’on pose conséquemment mais alors la courbe a une figure toute différente.
