d’où résulte, entre les longueurs des rayons vecteurs correspondant des deux courbes l’équation de relation
![{\displaystyle lh=a^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb665aea813ec1a486e5d59f4b4dfba5e1886392)
On peut déduire de ces équations une construction simultanée des deux courbes.
Sur le demi-axe transverse
(fig. 6) soit décrite une circonférence, à laquelle soit menée la tangente
. Soient menées arbitrairement, par le centre, les deux droites
faisant des angles égaux avec
, et coupant le cercle en
et
. Soit pris l’arc
, et soit portée la corde
de
en
. Soit élevée à
la perpendiculaire
rencontrant la circonférence en
et soit menée
, coupant
en
. Si alors du point
comme centre commun, et avec
et
pour rayon, on décrit deux cercles concentriques, le plus grand coupera nos arbitraires en quatre points
, qui appartiendront à l’hyperbole, et le plus petit coupera ces mêmes droites en quatre autres points
, qui appartiendront à la lemniscate.
En effet, 1.o en abaissant la perpendiculaire
sur le diamètre, on aura
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {CH}}^{2}={\overline {CN}}^{2}={\overline {CA}}^{2}+{\overline {AN}}^{2}={\overline {CA}}^{2}+\left({\frac {CA.KM}{CK}}\right)^{2}} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/731d10a45ab6ceb225033547372961db10c2a9fe)
![{\displaystyle =\mathrm {{\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CK}}^{2}+{\overline {KM}}^{2}}{CK^{2}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CM}}^{2}}{{\overline {CK}}^{2}}}} ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f330a1988645d8b1a66df783bd5b83b1da5ea532)
ou bien
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {CH}}^{2}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CM}}^{2}}{{\overline {CG}}^{2}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {\overline {CK}}{\overline {CP}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {CG}{CP}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/55006b7534303079d196583650af9ac9435f10c5)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle z^{2}=a^{2}\operatorname {Sec} .2u,\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21bd7ba22e1acdb7637e7df3f5d8084c3d7c0a6d)
ou
![{\displaystyle \quad a^{2}=z^{2}\operatorname {Cos} .2u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f59f42ac43d03e2140510d4c7c5f2074b58f377)
On aura, 2.o
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {CL}}^{2}={\overline {CM}}^{2}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CK}}^{2}}{{\overline {CM}}^{2}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {{\overline {CG}}^{2}}{{\overline {CM}}^{2}}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {CP}{CK}}={\overline {CA}}^{2}.{\frac {CP}{CG}}} \,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/291ba41dddcaf351dfa415e3b2c30df69267ea43)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle l^{2}=a^{2}\operatorname {Cos} .2u.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38c61a8c85d2007d7a8290d208580fd462121a5b)