d’où résulte, entre les longueurs des rayons vecteurs correspondant des deux courbes l’équation de relation
On peut déduire de ces équations une construction simultanée des deux courbes.
Sur le demi-axe transverse (fig. 6) soit décrite une circonférence, à laquelle soit menée la tangente . Soient menées arbitrairement, par le centre, les deux droites faisant des angles égaux avec , et coupant le cercle en et . Soit pris l’arc , et soit portée la corde de en . Soit élevée à la perpendiculaire rencontrant la circonférence en et soit menée , coupant en . Si alors du point comme centre commun, et avec et pour rayon, on décrit deux cercles concentriques, le plus grand coupera nos arbitraires en quatre points , qui appartiendront à l’hyperbole, et le plus petit coupera ces mêmes droites en quatre autres points , qui appartiendront à la lemniscate.
En effet, 1.o en abaissant la perpendiculaire sur le diamètre, on aura
ou bien
c’est-à-dire,
ou
On aura, 2.o
c’est-à-dire,