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Si l’hyperbole était déjà tracée, la construction de la lemniscate deviendrait beaucoup plus facile ; $\mathrm {H}$ étant le point où cette hyperbole serait coupée par l’arbitraire $\mathrm {CE} ,$ l’arc $\mathrm {HN} ,$ décrit du point $\mathrm {c}$ comme centre, déterminerait le point $N$ de $\mathrm {AD} \,;$ la droite $\mathrm {CN}$ déterminerait le point $\mathrm {M}$ de la circonférence ; et enfin l’arc $\mathrm {ML} ,$ décrit encore du point $\mathrm {C}$ comme centre, déterminerait le point $\mathrm {L}$ de la lemniscate.

On tire des équations (5, 6)

$\operatorname {d} u=+{\frac {a^{2}\operatorname {d} h}{h{\sqrt {h^{4}-a^{4}}}}},\qquad \operatorname {d} u=-{\frac {l\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}},$

en observant que, pour la dernière courbe, le rayon vecteur décroît lorsque $u$ augmente. Mais on sait que $s$ étant l’arc d’une courbe dont le rayon vecteur $r$ fait un angle $u$ avec l’axe, on a

$s=\int {\sqrt {\operatorname {d} r^{2}+r^{2}\operatorname {d} u^{2}}}\,;$

donc, en représentant respectivement par $\mathrm {H,L}$ les arcs de nos deux courbes, nous aurons

$H=\int {\frac {h^{2}\operatorname {d} h}{h{\sqrt {h^{4}-a^{4}}}}},\qquad L=\int -{\frac {a^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}},$

les arcs étant comptés à partir du sommet de l’hyperbole. Mais, à cause de la relation trouvée ci-dessus, $lh=a^{2},$ on peut exprimer $H$ en $l,$ et il vient ainsi

$H=\int -{\frac {a^{4}\operatorname {d} l}{l^{2}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}}={\frac {\sqrt {a^{4}-l^{4}}}{l}}+\int {\frac {l^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}.$

Remarquons présentement que l’excès de l’asymptote de l’hyperbole sur le quart de cette courbe n’est autre chose que ce que devient l’excès $h-H$ ou ${\frac {a^{2}}{l}}-H$ du rayon vecteur sur l’arc correspondant, compté depuis le sommet, lorsque ce rayon vecteur devient infini, ou, ce qui revient au même, lorsque $l=0,$ d’où il suit qu’on doit avoir

$D={\frac {a^{2}}{l}}-{\frac {\sqrt {a^{4}-l^{4}}}{l}}-\int {\frac {l^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}.\qquad \left[{\begin{aligned}&l=a\\&l=0\end{aligned}}\right]$