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$\iiint \Delta \theta \operatorname {d} a\operatorname {d} b\operatorname {d} c,$

prise entre les limites données far la surface du fluide primitif (A), et comme, en désignant par $\Delta _{0}$ la valeur primitive de la densité $\Delta ,$ la masse primitive du même fluide est exprimée par

$\iiint \Delta _{0}\operatorname {d} a\operatorname {d} b\operatorname {d} c,$

on doit en conclure

$\iiint \theta \Delta \operatorname {d} a\operatorname {d} b\operatorname {d} c=\iiint \Delta _{0}\operatorname {d} a\operatorname {d} b\operatorname {d} c,$

et par suite

$\theta \Delta =\Delta _{0}\,;\qquad$(4)

en observant que les limites des intégrales qui composent l’équation précédente sont données par la surface primitive du fluide (A), laquelle surface est entièrement arbitraire.

Cette équation (4) sert à compléter le système d’équations (2) ; mais, pour pouvoir l’employer conjointement avec les équations (3), il faut la mettre sous une forme plus commode.

Comme l’origine des temps est entièrement arbitraire, si nous représentons par $\Delta _{1},x_{1},y_{1},z_{1}$ les valeurs de $\Delta ,x,y,z$ qui correspondent à la valeur $t+h$ de $t,$ nous devrons avoir encore

$\left\{{\begin{aligned}&{\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} z}}+{\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} x}}+{\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} y}}\\\\-&{\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} y}}-{\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} x}}{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} z}}-{\frac {\operatorname {d} x_{1}}{\operatorname {d} z}}{\frac {\operatorname {d} y_{1}}{\operatorname {d} y}}{\frac {\operatorname {d} z_{1}}{\operatorname {d} x}}\end{aligned}}\right\}\Delta _{1}=\Delta \,;$

mais, en développant suivant les puissances ascendantes de $h,$ nous avons