![{\displaystyle \int {\frac {x^{m-1}\operatorname {d} x}{\sqrt {1-x^{n}}}}.\int {\frac {x^{n-m-1}\operatorname {d} x}{\sqrt {1-x^{n}}}}={\frac {2\varpi \operatorname {Cot} .{\frac {m\varpi }{n}}}{n(n-2m)}},\qquad \left[{\begin{aligned}&x=0\\&x=1\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10ccde8aa4f83483ca839a33fa44e20b6cb6722)
en faisant donc
on obtiendra
![{\displaystyle \int {\frac {a^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}.\int {\frac {l^{2}\operatorname {d} l}{\sqrt {a^{4}-l^{4}}}}={\frac {\varpi a^{2}}{4}},\qquad \left[{\begin{aligned}&l=0\\&l=a\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cef97843494b740c9d0a777ff8a613e2e6c6f96a)
donc
![{\displaystyle qD={\frac {\varpi a^{2}}{4}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ae596e887e1f34eac0f05a3d31b41bef8b5009b4)
deuxième partie du théorème[1].
Genève, le 15 avril 1823.
![{\displaystyle \int {\frac {z^{p}\operatorname {d} z}{\sqrt {1-z^{2n}}}}.\int {\frac {z^{p+n}\operatorname {d} z}{\sqrt {1-z^{2n}}}}={\frac {1}{n(p+1)}}.{\frac {\varpi }{2}}\,;\qquad \left[{\begin{aligned}&z=0\\&z=1\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1cc96eb2a5ae5ef969e5d23f8b61ef0890c2ba0f)
mais il faut observer que
n’est point ici un nombre tout-à-fait arbitraire, à cause de l’équation
dans laquelle
et
sont nécessairement des nombres positifs, et où
est un nombre entier. Si, par exemple, pour obtenir le produit
![{\displaystyle \int {\frac {\operatorname {d} z}{\sqrt {1-z^{4}}}}.\int {\frac {z^{2}\operatorname {d} z}{\sqrt {1-z^{4}}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77cecb4fcf8f8a691b81ea0ff307624c9e508e4a)
on voulait faire
et
il s’ensuivrait
ou
ce qu’on ne peut admettre ; il faut donc chercher ce produit par une autre voie.
- ↑ M. H. W. T. à qui on doit ces deux singuliers théorèmes en a donné une démonstration qui ne diffère guère de celle qu’on vient de lire qu’en ce que, dans ses calculs, il substitue l’angle
au rayon vecteur.
J. D. G.