Mais, si l’on conçoit une ellipse qui ait l’axe transverse de l’hyperbole pour grand axe, et dont le petit axe soit égal à la distance entre ses foyers, son équation sera
elle sera donc semblable à la précédente, et le rapport de leurs lignes homologues sera celui de 
à 
en représentant donc par 
le quart du périmètre de cette nouvelle courbe, on aura
et, par suite,
ce qui démontre déjà la première partie du théorème.
Présentement, dans la théorie des intégrales définies de la forme 
donnée par Euler[1], on rencontre l’équation suivante
- ↑ Voyez le Traité des différences et des séries de M. Lacroix, dernière édition, page 426. On parviendrait également au but à l’aide des formules de la page 430 du même ouvrage, en y faisant
Le même résultat se présente aussi à la page 413 de ce traité ; mais il nous a paru que la démonstration n’était point exacte.
On sait que
![{\displaystyle \int {\frac {x^{2r}\operatorname {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}.\int {\frac {x^{2r+1}\operatorname {d} x}{\sqrt {1-x^{2}}}}={\frac {1}{2r+1}}.{\frac {\varpi }{2}},\qquad \left[{\begin{aligned}&x=0\\&x=1\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2b997e2d7e1285a97c278b1629d6a04c2112ac6)
du moins en supposant 
entier et positif. Si donc l’on pose 
étant supposé positif, auquel cas les limites de 
seront les mêmes que celles de 
on aura
![{\displaystyle n^{2}\int {\frac {z^{2rn+n-1}\operatorname {d} z}{\sqrt {1-z^{2n}}}}.\int {\frac {z^{2rn+2n-1}\operatorname {d} z}{\sqrt {1-z^{2n}}}}={\frac {1}{2r+1}}.{\frac {\varpi }{2}},\qquad \left[{\begin{aligned}&z=0\\&z=1\end{aligned}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3dd3e4f1f4fb74fa7a706504ac29647fca801a48)
d’où, en posant 
il viendra
