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nombre réel correspondant au logarithme réel donné, à cause de $n$ infini, d’où résulte ${\frac {\operatorname {Log} .x}{n}}=0,$ nous aurons

$x=N{\sqrt[{k}]{1}},\qquad$(2)

formule qui, comme la formule (1), est susceptible d’une infinité de valeurs différentes. On peut d’ailleurs vérifier immédiatement cette dernière formule, en prenant les logarithmes des deux membres ; on a ainsi

$\operatorname {Log} .x=\operatorname {Log} .N+{\frac {\operatorname {Log} .1}{k}}=\operatorname {Log} .N=\operatorname {Log} .x,$

et cela quel que soit $k.$

Ces considérations nous semblent de nature à terminer, une fois pour toutes, le différend qui s’est élevé autrefois entre Euler et d’Alembert, sur la nature des logarithmes des quantités négatives, en montrant que la vérité était du côté du dernier de ces deux illustres géomètres. En effet, puisque, dans l’expression générale $N{\sqrt[{n}]{1}},$ se trouvent compris, comme cas particuliers, les nombres $+N$ et $-N,$ nous devons en conclure avec lui que les logarithmes des quantités négatives sont les mêmes que ceux de ces mêmes quantités prises positivement. Au surplus, voici une autre démonstration de cette dernière proposition qui est tout aussi concluante.

Soit

$z={\frac {x^{2}}{1+x^{2}}},\quad$d’où$\quad x^{2}={\frac {z}{1-z}}\,;$

et par suite

$\operatorname {Log} .x={\frac {1}{2}}\left[\operatorname {Log} .z-\operatorname {Log} .(1-z)\right]\,;$

or,

$\operatorname {Log} .z=-\left\{{\frac {1-z}{1}}+{\frac {(1-z)^{2}}{2}}+{\frac {(1-z)^{3}}{3}}+\ldots \right\}$

d’où