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d’où l’on voit qu’en général, pour une même valeur donnée de $k^{2},$ les points $\mathrm {P}$ qui résolvent le problème sont sur deux circonférences concentriques avec celle du cercle circonscrit au triangle donné. Nous disons en général ; car, si $k$ excédait une certaine limite, l’une des deux valeurs de $R$ deviendrait imaginaire, de sorte que le problème ne pourrait plus être résolu que par les points d’une circonférence unique.

Si l’on désigne par $R$ et $R'$ les rayons des deux cercles, on aura

$R^{2}=r^{2}+{\frac {2k^{2}}{\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\gamma }},\qquad R'^{2}=r^{2}-{\frac {2k^{2}}{\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\gamma }},$

ce qui donne

$R^{2}+R'^{2}=r^{2}\,;$

ou encore

$R^{2}-r^{2}=r^{2}-R'^{2}\,;$

d’où l’on voit d’abord que l’un des deux cercles est toujours extérieur au cercle circonscrit au triangle donné, tandis que, autre lui est intérieur, tellement que la corde du cercle circonscrit tangente à l’intérieur est égale à la corde de l’extérieur tangente au circonscrit.

Pour que le plus petit des deux cercles se réduise à un point, il faut qu’on ait

$r^{2}-{\frac {2k^{2}}{\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\gamma }}=0,\quad$d’où$\quad k^{2}={\frac {r^{2}\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\beta \operatorname {Sin} .\gamma }{2}},$

ou bien

$k^{2}={\frac {2r\operatorname {Sin} .\alpha 2r\operatorname {Sin} .\beta 2r\operatorname {Sin} .\gamma }{16r}}\,;$

or, le numérateur de cette expression est le produit des trois côtés du triangle donné, d’où il est aisé de conclure que cette valeur de