équations qui, résolues, la première par rappoxt à
et l’autre par rapport à
donneront
![{\displaystyle x-\alpha =\varphi (p),\qquad y-\beta =\psi (p),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9262d3bc558f966749ace65182a1386ee00ca3a)
où
et
seront également des fonctions déterminées de
et par suite
![{\displaystyle \alpha =x-\varphi (p),\qquad \beta =y-\psi (p).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3cc01c792ceeab354982b408ab7bd332e1150b6)
Mais
et
étant des fonctions déterminées de
sont aussi fonctions l’une de l’autre, c’est-à-dire, qu’il doit exister entre elles une relation déterminée. En supposant donc cette relation exprimée par l’équation
![{\displaystyle \operatorname {F} (\alpha ,\beta )=0,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc361f87260beb65e3e0b381683b9163f75ab02)
et substituant, on obtiendra, pour l’équation différentielle demandée
![{\displaystyle \operatorname {F} \left\{x-\varphi (p),y-\psi (p)\right\}=0.\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0434ca91658b821c561be593738c9cf276784c1a)
(I)
Mais il est essentiel de remarquer que les fonctions
et
ne sauraient être indépendantes ; et rien n’est plus facile que d’assigner la relation qui doit exister entre elles. Si, en effet, on différentie les valeurs de
et
trouvées ci-dessus, on aura
![{\displaystyle \operatorname {d} x=\varphi '(p).\operatorname {d} p,\qquad \operatorname {d} y=\psi '(p).\operatorname {d} p,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f9c095497f44a1253ca0537d57e35bfe1884d9f)
et
étant les dérivées respectives de
et
or, ces deux équations, divisées l’une par l’autre, donnent
![{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b61420e4b95213c34a680075e4075abe59e9c4a8)
ou
![{\displaystyle \quad p={\frac {\psi (p)}{\varphi (p)}},\quad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08cee32dcd876807f17abe316d696f84176358cb)
c’est-à-dire,
![{\displaystyle \quad \psi '(p)=p\varphi '(p)\,;\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/75d69d20b5b95a09a56916e7eb01674b5190fe4f)
(II)