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$\left\{x-{\frac {rp}{\sqrt {1+p^{2}}}}\right\}^{2}+\left\{y-{\frac {r}{\sqrt {1+p^{2}}}}\right\}^{2}=\rho ^{2},$

et qui rentre ainsi dans la formule (I). De plus, on a ici

$\varphi (p)={\frac {rp}{\sqrt {1+p^{2}}}},\qquad \psi (p)={\frac {r}{\sqrt {1+p^{2}}}},$

d’où

$\varphi '(p)={\frac {r}{\sqrt {1+p^{2}}}},\qquad \psi '(p)={\frac {rp}{\sqrt {1+p^{2}}}},$

ce qui vérifie la relation (II).

Au moyen de ce qui précède, on peut aisément démontrer le théorème suivant :

THÉORÈME. Toute équation différentielle de la forme

$\operatorname {F} \left\{x-\varphi (p),y-\psi (p)\right\}=0,$

qui admet une solution particulière, $a,$ par là même, une intégrale de la forme

$\operatorname {f} \left\{x-\varphi (p),y-\psi (p)\right\}=0,$

dans laquelle $\alpha$ et $\beta$ sont des fonctions d’une même constante arbitraire.

Et réciproquement toute équation différentielle de la première forme, dont l’intégrale est de la seconde, admet par là même une solution particulière.

Démonstration. En effet, 1.^o on sait que, pour obtenir la solution particulière d’une équation telle que