![{\displaystyle \left.{\begin{aligned}&{\frac {(bc'-cb')x+(ca'-ac')y+(ab'-ba')z}{(z-c)(z-c')}}\\\\+&{\frac {(b'c''-c'b'')x+(c'a''-a'c'')y+(a'b''-b'a'')z}{(z-c')(z-c'')}}\\\\+&{\frac {(b''c-c''b)x+(c''a-a''c)y+(a''b-b''a)z}{(z-c'')(z-c)}}\end{aligned}}\right\}={\frac {2k^{2}}{\operatorname {Sin} .\gamma }}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a769e9a6fc186bac5130f50a1512c72a33dbc5a0)
Telle est donc l’équation de la surface demandée.
En y chassant les dénominateurs, développant et posant, pour abréger,
![{\displaystyle bc'-cb'+b'c''-c'b''+b''c-c''b=A,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ebc308f153497bce1a6727b686c6360a8887c18f)
![{\displaystyle ca'-ac'+c'a''-a'c''+c''a-a''c=B,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/273c75d24f92dc163b266995df46640a0bd7e954)
![{\displaystyle ab'-ba'+a'b''-b'a''+a''b-b''a=C,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b90df660a37b7692e6a0f75c513545c610071e8)
![{\displaystyle ab'c''-ac'b''+ca'b''-ba'c''+bc'a''-cb'a''=D,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6229155454ddbb8629a7d97ba941d363b58d084)
cette équation deviendra
![{\displaystyle (Ax+By+Cz-D)z^{2}\operatorname {Sin} .\gamma =2k^{2}(z-c)(z-c')(z-c'').\qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcc84593594cfbb1bed1657a7f229f9666ba0509)
(1)
Il faudra d’ailleurs se rappeler que
peut être pris indistinctement en plus ou en moins ; de sorte qu’il y a proprement deux surfaces courbes qui résolvent le problème. Nous nous bornerons à discuter celle qui répond à
positif.
Remarquons d’abord que l’équation du plan qui contient les trois points fixes est