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$Ax+By+Cz=D,\quad$et$\quad z=0\,;$

mais les équations de l’axe des $y$ doivent être

$x=0,\qquad z=0\,;$

il faudra donc que ces quatre équations aient lieu à la fois, ce qui donnera

$By-D=0,$

équation qui, devant avoir lieu quelle que soit $y,$ donnera

$B=0,\qquad D=0\,;$

l’équation (1) deviendra donc

$(Ax+Cz)z^{2}\operatorname {Sin} .\gamma =2k^{2}(z-c)(z-c')(z-c'')\,;\qquad$(5)

équation que l’on reconnaît en effet pour celle d’une surface cylindrique, ayant ses arêtes parallèles à l’axe des $y,$ et qui appartient en même temps à l’intersection de cette surface avec le plan des $xz.$ On voit qu’en y faisant $z=0,$ la valeur de $x$ devient infinie, d’où l’on peut conclure que le plan fixe est un plan asymptotique de la surface cherchée.

Si l’un des trois points fixes, le point $(a'',b'',c''),$ par exemple, était situé sur le plan fixe, on aurait $c''=0,$ et l’équation (5) deviendrait, en divisant par $z,$

$(Ax+Cz)z\operatorname {Sin} .\gamma =2k^{2}(z-c)(z-c')\,;$

c’est-à-dire qu’alors la surface cherchée se réduirait à une surface cylindrique du second ordre à base hyperbolique. Si le point