Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/329

Le texte de cette page a été corrigé et est conforme au fac-similé.

ANALISE TRANSCENDANTE.

Par M. B. D. C.

≈≈≈≈≈≈≈≈≈

Soient $x$ et $y$ des fonctions quelconques d’une troisième variable $t\,;$ et soient représentés, en général, pour abréger,

{\frac {\operatorname {d} ^{k}x}{\operatorname {d} t^{k}}}\quad

par

\quad x_{k},

{\frac {\operatorname {d} ^{k}y}{\operatorname {d} t^{k}}}\quad

par

\quad y_{k},

quel que puisse être d’ailleurs le nombre entier positif $k.$ Soit $V$ une fonction quelconque de

x,x_{1},x_{2},x_{3},\ldots x_{m},

y,y_{1},y_{2},y_{3},\ldots y_{m},

où on suppose que $m$ soit tout au plus égal à $n,$ et posons

{\begin{aligned}&X=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x}}\right)-{\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x_{1}}}\right)}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x_{2}}}\right)}{\operatorname {d} t^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x_{3}}}\right)}{\operatorname {d} t^{3}}}+\ldots \pm {\frac {\operatorname {d} ^{m}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} x_{m}}}\right)}{\operatorname {d} t^{m}}}\\\\&Y=\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y}}\right)-{\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y_{1}}}\right)}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y_{2}}}\right)}{\operatorname {d} t^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y_{3}}}\right)}{\operatorname {d} t^{3}}}+\ldots \pm {\frac {\operatorname {d} ^{n}\left({\frac {\operatorname {d} V}{\operatorname {d} y_{n}}}\right)}{\operatorname {d} t^{n}}}\end{aligned}}

Si $V\operatorname {d} t$ est une différentielle exacte, on aura, comme l’on sait^[1],