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$X=0,\ Y=0\,;$ et réciproquement, si ces deux équations ont lieu, $V\operatorname {d} t$ sera une différentielle exacte ; et telles sont les conditions nécessaires et suffisantes pour l’intégrabilité de la fonction différentielle $V\operatorname {d} t,$ lorsque $x$ et $y$ sont deux variables indépendantes l’une de l’autre.

Mais si, au contraire, $y$ était une fonction de $x,$ c’est-à-dire, si l’on avait $y=\varphi (x),$ il est clair qu’alors une seule condition serait nécessaire et suffisante pour rendre intégrable la fonction différentielle $V\operatorname {d} t.$ Mais quelle devrait être cette condition unique ? C’est ce que nous nous proposons ici de rechercher.

Désignons en général par $\varphi _{k}(x)$ la dérivée de l’ordre $k$ de la fonction $\varphi (x),$ prise par rapport à $x,$ quel que soit le nombre entier positif $k\,;$ à cause de $y=\varphi (x),$ on aura, en différentiant,

${\begin{aligned}y\ \,&=\varphi (x)\\\\y_{1}&=\varphi _{1}(x).x_{1}\\\\y_{2}&=\varphi _{2}(x).x_{1}^{2}+\varphi _{1}(x).x_{2}\\\\y_{3}&=\varphi _{3}(x).x_{1}^{3}+3\varphi _{2}(x).x_{1}x_{2}+\varphi _{1}(x).x_{3}\\&\ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \\\end{aligned}}$

Désignons par $V'$ ce que devient $V$ lorsqu’on y substitue ces valeurs en $x,x_{1},x_{2},\ldots x_{n}$ pour $y,y_{1},y_{2},\ldots y_{n}\,;$ en posant

$X'=\left({\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} x}}\right)-{\frac {\operatorname {d} \left({\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} x_{1}}}\right)}{\operatorname {d} t}}+{\frac {\operatorname {d} ^{2}\left({\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} x_{2}}}\right)}{\operatorname {d} t^{2}}}-{\frac {\operatorname {d} ^{3}\left({\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} x_{3}}}\right)}{\operatorname {d} t^{3}}}+\ldots \pm {\frac {\operatorname {d} ^{n}\left({\frac {\operatorname {d} V'}{\operatorname {d} x_{n}}}\right)}{\operatorname {d} t^{n}}},$

$X'=0$ sera évidemment l’équation de condition qu’il s’agit de déterminer.

Or, on a