Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/358

 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$q-{\frac {p}{q-x}}=(q-p)+{\frac {p}{1+{\frac {1}{q-1-x}}}},$

en substituant donc, il viendra

$x={\frac {p}{q-p+{\frac {p}{1+{\frac {1}{q-1-x}}}}}},$

et par conséquent

$x={\frac {p}{q-p+{\frac {p}{1+{\frac {1}{q-1-{\frac {p}{q-p+y}}}}}}}}$

en posant, pour abréger,

$y={\frac {p}{1+{\frac {1}{q-1-x}}}}.$

Mais, par une transformation analogue, on trouve

$q-1-{\frac {p}{q-p+y}}=(q-p-1)+{\frac {p}{1+{\frac {1}{q-p-1+y}}}}\,;$

donc, en substituant et mettant pour $y$ sa valeur,

$x={\frac {p}{q-p+{\frac {p}{1+{\frac {1}{q-p-1+{\frac {p}{1+{\frac {1}{q-p-1+{\frac {p}{1+{\frac {1}{q-p-1+\ldots }}}}}}}}}}}}}}$

Mais, pour que cette transformation conduise au but, encore faut-il que $q$ soit plus grand que $p+1\,;$ et l’on n’obtient finalement qu’une fraction continue peu convergente, qui n’est plus immédiatement périodique et dont les périodes ont deux termes.