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puis, en élevant les deux nombres à la puissance $p,$

$\left\{\varphi \left(t^{\frac {1}{q}}\right)\right\}^{p}=\left\{\varphi (t)\right\}^{\frac {p}{q}}.\qquad$(4)

Mais si, dans l’équation (3), on change $q$ en $p,$ elle devient

$\left\{\varphi (t)\right\}^{p}=\varphi \left(t^{p}\right)\,;$

d’où, en changeant $t$ en $t^{\frac {1}{q}},$

$\left\{\varphi \left(t^{\frac {1}{q}}\right)\right\}^{p}=\varphi \left(t^{\frac {p}{q}}\right)\,;\qquad$(5)

donc, en comparant (4) et (5),

$\left\{\varphi (t)\right\}^{\frac {p}{q}}=\varphi \left(t^{\frac {p}{q}}\right)\,;\qquad$(6)

et, comme les nombres entiers positifs $p$ et $q$ peuvent être supposés si grands qu’on le voudra, il s’ensuit que l’équation (3) doit avoir lieu lors même que $q$ est incommensurable. Il ne serait pas difficile de prouver qu’elle doit avoir lieu également lorsque $q$ est négatif.

Si présentement on pose $t^{\frac {p}{q}}=u,$ d’où ${\frac {p}{q}}={\frac {\operatorname {Log} .u}{\operatorname {Log} .t}},$ l’équation (6) deviendra

$\left\{\varphi (t)\right\}^{\frac {\operatorname {Log} .u}{\operatorname {Log} .t}}=\varphi (u),$

ou bien

$\left\{\varphi (t)\right\}^{\frac {1}{\operatorname {Log} .t}}=\left\{\varphi (u)\right\}^{\frac {1}{\operatorname {Log} .u}}\,;$

d’où on conclura, comme ci-dessus

$\left\{\varphi (t)\right\}^{\frac {1}{\operatorname {Log} .t}}=A,\quad$ou$\quad \varphi (t)=A^{\operatorname {Log} .t}\,;$

mais on a