![{\displaystyle Triang.\mathrm {A'B'C'={\frac {1}{2}}\left(PA'.PB'+PB'.PC'+PC'.PA'\right)} \operatorname {Sin} .120^{\circ }\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eadcf3c1e5125469a5cadd6506f946c3653ea400)
et par suite
![{\displaystyle \mathrm {PA'.PB'+PB'.PC'+PC'.PA'} ={\frac {2Triang.\mathrm {A'B'C'} }{\operatorname {Sin} .120^{\circ }}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a213a5ccc573ab0337cf082c633530ea1089a44)
Or, dans le triangle équilatéral, le cercle inscrit est concentrique au cercle circonscrit, d’où il suit (pag. 280-291 du présent volume) que, quelle que soit la situation du point
sur la circonférence du premier de ces deux cercles, l’aire du triangle
est constante, donc on a aussi
![{\displaystyle \mathrm {PA'.PB'+PB'.PC'+PC'.PA'} =Const.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b1e8f83f1b358c3f3e0ba218e69ef2f2dc585fdd)
Si présentement on prend pour le point
l’un des points de contact du cercle inscrit avec les côtés du triangle, deux des trois rectangles seront nuls, et le troisième se réduira évidemment à
donc finalement
![{\displaystyle \mathrm {PA'.PB'+PB'.PC'+PC'.PA'} ={\frac {1}{4}}H^{2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/826a53a1e508d09535daa2d2479649b018972e74)
Corollaire. Il est connu que, quelle que soit la situation du point
dans l’intérieur du triangle équilatéral, on a toujours
![{\displaystyle \mathrm {PA'+PB'+PC'} =H,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8d9277de39023081ee225cb87ae26319af0506c)
d’où, en quarrant
![{\displaystyle \mathrm {{\overline {PA'}}^{2}+{\overline {PB'}}^{2}+{\overline {PC'}}^{2}+2\left(PA'.PB'+PB'.PC'+PC'.PA'\right)} =H^{2}\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/af74831432327234c47762fab13646d49644861f)
mettant donc ici pour la somme des produits deux à deux sa valeur
transposant et réduisant, on aura