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Démonstration d’un théorème de géométrie énoncé
dans le New-Castle Magazine (Décembre 1823, pag. 665) ;

Par M. Gergonne.

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THÉORÈME. De quelque point de la circonférence du cercle inscrit à un triangle équilatéral, qu’on abaisse des perpendiculaires sur ses trois côtés ; la somme des rectangles construits sur ces perpendiculaires prises deux à deux sera constante et équivalente au carré construit sur la moitié de la hauteur du triangle.

Démonstration. Soient $\mathrm {ABC}$ le triangle dont il s’agit, $\mathrm {O}$ son centre de figure, $\mathrm {P}$ un quelconque des points de la circonférence du cercle inscrit, enfin, $\mathrm {PA',PB',PC'} ,$ les perpendiculaires abaissées de ce point sur les côtés $\mathrm {BC,CA,AB}$ du triangle, en désignant par $H$ sa hauteur, il s’agira de démontrer que

$\mathrm {PA'.PB'+PB'.PC'+PC'.PA'} ={\frac {1}{4}}H^{2}.$

Soient menées $\mathrm {A'B',B'C',C'A'} ,$ nous aurons

${\begin{aligned}&Triang.\mathrm {A'PB'={\frac {1}{2}}PA'.PB'\operatorname {Sin} .A'PB'={\frac {1}{2}}PA'.PB'} \operatorname {Sin} .120^{\circ },\\\\&Triang.\mathrm {B'PC'={\frac {1}{2}}PB'.PC'\operatorname {Sin} .B'PC'={\frac {1}{2}}PB'.PC'} \operatorname {Sin} .120^{\circ },\\\\&Triang.\mathrm {C'PA'={\frac {1}{2}}PC'.PA'\operatorname {Sin} .C'PA'={\frac {1}{2}}PC'.PA'} \operatorname {Sin} .120^{\circ }\,;\end{aligned}}$

d’où, en ajoutant