Il est presque superflu de prévenir qu’en vertu de ce que M. Poncelet a appelé propriétés projectiles des figures, tout ce qui va être démontré du cercle le sera, par là même, d’une section conique quelconque.
§. I.
Propriétés des hexagones inscrits et circonscrits au cercle.
THÉORÈME I. Dans tout hexagone inscrit au cercle, les points de concours des directions des côtés opposés appartiennent tous trois à une même ligne droite.
Démonstration. Soit 
(fig. 2) un hexagone quelconque inscrit au cercle 
Soient 
respectivement, les côtés de l’hexagone circonscrit au même cercle dont les points de contact sont aux sommets 
de l’inscrit. Soient respectivement 
les points de concours des directions des côtés opposés 
et 
et 
et 
de l’hexagone inscrit ; il s’agit de démontrer que ces trois points appartiennent à une même ligne droite.
Soient pour cela 
respectivement les points de concours des directions des côtés opposés 
et 
et 
et 
de l’hexagone circonscrit.
Le cercle 
touche extérieurement en 
le cercle 
et intérieurement en 
le cercle 
d’où il suit que passe par le centre de similitude interne des cercles 
et 
Pareillement, le cercle 
touche extérieurement en 
le cercle 
et intérieurement en 
le cercle 
d’où il suit que 
passe aussi par le centre de similitude interne des deux cercles et lequel conséquentment ne saurait être que le point 
de concours des directions de et 
Par un raisonnement tout-à-fait semblable, appliqué tour à tour aux deux cercles 
et 
on prouvera que 
et 
passent
