Tout pentagone inscrit au cercle peut être considéré comme un hexagone inscrit dans lequel un des côtés, d’une longueur nulle, est dirigé suivant la tangente à l’un quelconque des sommets du pentagone.
Pareillement, tout pentagone circonscrit au cercle peut être considéré comme un hexagone circonscrit dans lequel un des angles, égal à deux angles droits, a son sommet au point de contact de l’un des côtés du pentagone.
En modifiant donc les énoncés des Théorèmes I et II, conformément à cette circonstance particulière, on obtiendra les deux théorèmes suivans, dont un, au surplus, pourrait être directement démontré par un raisonnement analogue à celui que nous avons appliqué au Théorème I, et dont chacun peut être facilement déduit de l’autre à l’aide de la théorie des pôles et polaires.
THÉORÈME III. Dans tout pentagone inscrit au cercle, les points de concours des directions de deux paires de côtés non consécutifs quelconques, et le point de concours de la direction du cinquième côté avec la tangente au sommet opposé, appartiennent tous trois à une même droite.
THÉORÈME IV. Dans tout pentagone circonscrit au cercle, les diagonales qui joignent deux paires de sommets non consécutifs quelconques, et la droite qui joint le cinquième sommet au point de contact du côté opposé, concourent tous trois en un même point.
On conçoit que ces deux théorèmes ont la même généralité que les Théorèmes I et II, et sont comme eux applicables à toutes les sortes de pentagones qu’on peut inscrire ou circonscrire à un cercle, même aux pentagones inscrits dont les côtés se coupent
