Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/59

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Démonstration. Prenons un des sommets de notre tétraèdre pour sommet d’un cône circonscrit à la première sphère ; ce cône sera inscrit au tétraèdre, et sera coupé suivant un cercle par le plan de la face opposée à son sommet ; ce plan coupera d’ailleurs la seconde sphère suivant un cercle, et la face du tétraèdre que nous considérons ici sera à la fois circonscrite au premier cercle dont il vient d’être question et inscrite à ce dernier ; on pourra donc (Théorème XIV) construire une infinité de triangles qui, comme celui-là, seront circonscrits à l’un de ces cercles et inscrits à l’autre ; et il est clair que, si l’on fait de ces triangles les bases d’autant de tétraèdres, ayant tous même sommet que le premier, ces tétraèdres seront tous, comme le premier, circonscrits à l’une des sphères et inscrits à l’autre.

Ainsi, en conservant un quelconque des sommets du tétraèdre, on peut varier d’une infinité de manières différentes la construction de la face opposée. Or, il est clair que pareillement, dans chacun des tétraèdres résultans, on pourra prendre à son tour pour sommet fixe l’un quelconque des sommets du triangle que nous avions d’abord considéré comme base, et varier alors, d’une infinité de manières différentes la construction de la face opposée.

Il y aura donc ainsi une infinité de tétraèdres de toutes sortes de formes et directions, circonscrits à l’une des sphères et inscrits à l’autre ; et il ne serait pas même difficile de prouver qu’on en pourra toujours trouver un qui ait pour une de ses arêtes une corde arbitraire de la sphère extérieure.

Ce théorème n’avait point encore été remarqué. La première partie de sa démonstration peut évidemment servir à établir le théorème que voici :

THÉORÈME XVII. Si un seul angle trièdre est, à la fois, circonscrit à une surface conique du second ordre et inscrit à une autre, toutes deux de même sommet que lui, une infinité d’autres angles trièdres pourront aussi être, à la fois, circonscrits à la première surface et inscrits à la seconde.