De ce dernier théorème résulte encore le suivant :
THÉORÈME XIX. Si un même triangle sphérique est, à la fois, circonscrit à un cercle de la sphère et inscrit à un autre, une infinité d’autres triangles sphériques pourront aussi être, à la fois, circonscrits au premier de ces cercles et inscrits au dernier.
THÉORÈME XX. La distance entre les centres de deux cercles, l’un inscrit et l’autre circonscrit à un même triangle quelconque est moyenne proportionnelle entre le rayon du circonscrit et l’excès de ce rayon sur le diamètre de l’inscrit.
Démonstration. Nous venons de voir (Théorème IV) que, lorsqu’un même triangle est à la fois circonscrit à un cercle et inscrit à un autre cercle, une infinité d’autres triangles peuvent aussi, à la fois, être circonscrits au premier de ces cercles et inscrits au second ; la distance entre les centres des cercles inscrits et circonscrits à chacun d’eux est donc la même pour tous ; elle doit donc être indépendante de la nature du triangle que l’on considère en particulier, et ne doit dépendre que des élémens qui leur sont communs à tous, c’est-à-dire, des rayons des deux cercles.
Profitant de cette remarque, cherchons, parmi ces divers triangles, celui qui paraît devoir le mieux se prêter à la détermination qui nous occupe ; ce doit être, sans contredit, un des deux qui ont un de leurs sommets à l’une ou l’autre des extrémités de celui des diamètres du cercle circonscrit qui passe par le centre de l’inscrit, et dont conséquemment le côté opposé est perpendiculaire à ce diamètre ; car ces deux triangles sont isocèles et symétriquement situés par rapport aux deux cercles.
Soit donc (fig. 4) le diamètre du circonscrit qui contient les centres des deux cercles, étant le centre du circonscrit et celui de l’inscrit ; et ce dernier étant coupé en par Soit le triangle isocèle dont il s’agit, divisé en deux parties égales par Menons et
La droite divisant l’angle du triangle en deux par-
