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ties égales ; par une proposition connue de géométrie, on aura, en quarrant,

$\mathrm {{\overline {AS}}^{2}:{\overline {AH}}^{2}::{\overline {OS}}^{2}:{\overline {OH}}^{2}} \,;$

mais, en nommant $R$ le rayon du cercle circonscrit, $r$ celui de l’inscrit et $D$ la distance de leurs centres, on a

$\mathrm {{\overline {AS}}^{2}={\overline {SH}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}={\overline {SH}}^{2}+{\overline {AC}}^{2}-{\overline {CH}}^{2}}$

$=\mathrm {(D+R} +r)^{2}+\mathrm {R^{2}-(D} +r)^{2}=\mathrm {R(D+R} +r),$

$\mathrm {{\overline {AH}}^{2}={\overline {AG}}^{2}-{\overline {GH}}^{2}=R^{2}-(D} +r)^{2}=(\mathrm {D+R} +r)(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} ),$

$\mathrm {{\overline {OS}}^{2}=(D+R)^{2}} ,$

$\mathrm {{\overline {OH}}^{2}} =r^{2}\,;$

substituant donc et remarquant qu’alors le facteur $\mathrm {D+R} +r$ pourra être supprimé dans les deux termes du premier rapport, il viendra

$2\mathrm {R:R} -r-\mathrm {D::(D+R)^{2}} :r^{2},$

ou encore, parce que la différence des deux premiers termes est au second, comme la différence des deux derniers est au quatrième :

$\mathrm {D+R} +r:\mathrm {R} -r-\mathrm {D::(D+R)^{2}} -r^{2}:r^{2},$

ou en divisant les deux antécédans par $\mathrm {D+R} +r$

$1:\mathrm {R} -r-\mathrm {D::R} -r+\mathrm {D} :r^{2}\,;$

ou enfin, en égalant le produit des extrêmes au produit des moyens