Page:Annales de mathématiques pures et appliquées, 1823-1824, Tome 14.djvu/64

substituant donc, en observant que le facteur $\mathrm {R} +r+\mathrm {D}$ peut être supprimé, dans les deux termes du premier rapport, il viendra

$(\mathrm {R} +r+\mathrm {D} )+{\frac {1}{4}}(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} ):{\frac {1}{4}}(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} )::(\mathrm {R+D} )^{2}:r^{2},$

ou parce que, dans toute proportion, la différence des deux premiers termes est au second, comme la différence des deux derniers est au quatrième

$\mathrm {R} +r+\mathrm {D} :{\frac {1}{4}}(\mathrm {R} -r-\mathrm {D} )::(\mathrm {R+D} )^{2}-r^{2}:r^{2}\,;$

ou en divisant les deux antécédans par $\mathrm {R} +r+\mathrm {D}$ et multipliant les deux premiers termes par 4,

$4:\mathrm {R} -r-\mathrm {D::R} -r+\mathrm {D} :r^{2},$

d’où, en égalant le produit des extrêmes au produit des moyens,

$4r^{2}=(\mathrm {R} -r)^{2}-\mathrm {D} ^{2},$

ou

$\mathrm {D} ^{2}=(\mathrm {R} -r)^{2}-4r^{2}=(\mathrm {R} +r)(\mathrm {R} -3r),$

ce qui donne

${\frac {..}{..}}\mathrm {R} +r:\mathrm {D:R} -3r,$

comme nous l’avions annoncé.

Si la sphère tangente aux quatre faces de tétraèdre, au lieu d’être inscrite était exinscrite, en raisonnant d’une manière analogues, on serait conduit à la proportion