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dans l’espace un certain lieu, circonscrit par une surface particulière ; c’est la détermination de cette surface, enveloppe ou limite de toutes les autres, qui va présentement nous occuper.

Remarquons d’abord qu’en général les surfaces consécutives du système se coupent toutes deux à deux, suivant des courbes qui sont elles-mêmes consécutives et qui sont en même temps les lignes de contact de ces surfaces avec l’enveloppe cherchée ; d’où il suit que l’ensemble de ces courbes forme l’enveloppe elle-même^[1].

Soit, par exemple, l’équation

(x-R\operatorname {Cos} .t)^{2}+(y-R\operatorname {Sin} .t)+z^{2}=r^{2}\,;

elle représente évidemment un système de sphères du rayon $r$ dont les centres sont situés sur une circonférence tracée sur le plan des $xy,$ ayant son centre à l’origine et son rayon égal à $R\,;$ chacune de ces sphères coupe celle qui lui est consécutive suivant un cercle dont le rayon est $r,$ dont le centre est sur le plan des $xy$ à une distance $R$ de l’origine, et dont le plan passe par l’axe des $z$ . Le lieu de toutes les intersections est une surface annulaire, enveloppe de l’espace occupé par toutes les sphères.

Soit, en général,

\operatorname {F} \left(x,y,z,t_{1}\right)=0

↑ C’est à Monge qu’on doit la considération de l’enveloppe des surfaces déduites d’une même équation contenant un paramètre variable. Cet illustre géomètre y a été conduit en cherchant à interpréter les solutions singulières des équations différentielles partielles du premier ordre, lesquelles résultent, comme on le sait, de l’élimination de la constante arbitraire entre l’intégrale générale et sa différentielle par rapport à cette constante. Monge a encore considéré le cas de plusieurs paramètres variables ; mais, en les supposant liés par tel nombre de relations qu’il n’en reste qu’un seul d’indépendant. On voit que le point de vue sous lequel nous considérons ici les équations à paramètres variables est fort différent du sien.
(Note de l’auteur.)

[1] C’est à Monge qu’on doit la considération de l’enveloppe des surfaces déduites d’une même équation contenant un paramètre variable. Cet illustre géomètre y a été conduit en cherchant à interpréter les solutions singulières des équations différentielles partielles du premier ordre, lesquelles résultent, comme on le sait, de l’élimination de la constante arbitraire entre l’intégrale générale et sa différentielle par rapport à cette constante. Monge a encore considéré le cas de plusieurs paramètres variables ; mais, en les supposant liés par tel nombre de relations qu’il n’en reste qu’un seul d’indépendant. On voit que le point de vue sous lequel nous considérons ici les équations à paramètres variables est fort différent du sien.
(Note de l’auteur.)

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