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Mais la détermination de l’équation de l’enveloppe, au moyen de l’élimination de $t$ entre les deux équations

$\operatorname {F} (x,y,z,t)=0,\qquad {\frac {\operatorname {d} .\operatorname {F} (x,y,z,t)}{\operatorname {d} t}}=0,$

communes à toutes les caractéristiques, peut offrir diverses circonstances particulières, sur lesquelles il est bon d’être prévenu.

Et d’abord il pourrait se faire que la dernière de ces deux équations ne renfermât plus aucune des coordonnées $x,y,z,$ auquel cas son premier membre serait une quantité constante ou une simple fonction de $t\,;$ dans le premier cas, cette équation serait absurde, d’où il suit qu’il n’y aurait alors ni caractéristiques ni enveloppes. La proposée devrait être, dans ce cas, de la forme

$\Phi (x,y,z)+At=0,$

et il est aisé de voir qu’elle exprimerait tous les points de l’espace ; puisque, quelque valeur qu’on donnât à $x,y,z,$ on trouverait toujours une valeur réelle pour $t,$ du moins en supposant, comme nous le faisons, que l’équation ne renferme point de radicaux. Ce serait, par exemple, le cas des plans exprimés par l’équation

$z=mx+ny+t,$

lesquels seraient tous parallèles, ou des sphères exprimées par l’équation

$x^{2}+y^{2}+z^{2}=rt,$

lesquelles seraient toutes concentriques.

Si le premier membre de la seconde équation se réduisait à une simple fonction de $t,$ on ne pourrait, dans la recherche des caractéristiques, donner à $t,$ dans la première équation, que les valeurs données par celle-ci ; toutes les caractéristiques devraient