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(23) $\varphi (x)={\frac {f'\left(x_{1}\right)}{1}}.{\frac {1}{\left(x-x_{1}\right)^{m-1}}}+{\frac {f''\left(x_{1}\right)}{1.2}}.{\frac {1}{\left(x-x_{1}\right)^{m-2}}}+$

$\ldots +{\frac {f^{(m-1)}\left(x_{1}\right)}{1.2.\ldots (m-1)}}.{\frac {1}{x-x_{1}}}.$

En adoptant cette valeur de $\varphi (^{)},$ on trouvera

$\Phi ={\frac {f^{(m-1)}\left(x_{1}\right)}{1.2.3\ldots (m-1)}}\,;$

et par conséquent l’équation (14) continuera de subsister, pourvu que l’on suppose

(24)$\qquad f_{1}={\frac {f^{(m-1)}\left(x_{1}\right)}{1.2.3\ldots (m-1)}}$

$=\operatorname {Sin} .{\frac {1}{1.2.3\ldots (m-1)}}{\frac {\operatorname {d} ^{m-1}\left[\left(x-x_{1}\right)^{m}\operatorname {f} (x)\right]}{\operatorname {d} x^{m-1}}}$

On trouvera encore, dans cette hypothèse, 1.^o lorsque $b$ étant nul, les expressions

$f^{(m-2)}\left(x_{1}\right),\ f^{(m-4)}\left(x_{1}\right),\ f^{(m-6)}\left(x_{1}\right),\ldots$

se réduiront toutes à zéro,

(25)$\qquad \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)\operatorname {d} x=0\,;$

2.^o lorsque, $b$ étant nul, quelques-unes des mêmes expressions obtiendront des valeurs différentes de zéro

(26)$\qquad \int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)\operatorname {d} x=\pm \infty \,;$

3.^o lorsque $b$ sera positif

$\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi (x)\operatorname {d} x=\operatorname {F} f_{1}.{\sqrt {-1}}.$