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$x^{3}-{\frac {1}{4}}x+{\frac {1}{2}}m=0.\qquad$(1)

On démontre ordinairement que cette équation a ses trois racines réelles, soit par la considération de la multiplicité des angles auxquels répond un même sinus, soit en faisant voir qu’elle tombe dans le cas irréductible.

Mais on peut aussi déduire immédiatement cette vérité de la forme même de l’équation qu’il s’agit de résoudre. Et d’abord, comme elle est d’un degré impair, elle doit avoir au moins une racine réelle.

En second lieu, paçce que $m$ est un nombre plus petit que l’unité, on doit avoir

$1>{\frac {3}{4}}\mp {\frac {1}{4}}m\,;$

ce qui donne

$1-{\frac {3}{4}}+{\frac {1}{4}}m>0,\qquad -1+{\frac {3}{4}}-{\frac {1}{4}}m<0,$

or les premiers membres de ces inégalités ne sont autre chose que les résultats de la substitution de $+1$ et $-1$ à la place de $x,$ dans le premier membre de l’équation (1) ; donc, soit que cette équation ait trois racines réelles soit qu’elle n’en ait qu’une seule, elle doit avoir une racine réelle comprise entre $+1$ et $-1.$

Or tout nombre abstrait compris entre $+1$ et $-1.$ peut être considéré comme le sinus tabulaire d’un certain angle, d’où il suit que nous pouvons représenter une des racines de l’équation (1) par $\operatorname {Sin} .\alpha \,;$ ce qui donnera la condition

$\operatorname {Sin} .^{3}\alpha -{\frac {3}{4}}\operatorname {Sin} .\alpha +{\frac {1}{4}}m=0.\qquad$(2)

Or on peut prouver que, l’angle $\alpha$ étant pris de manière à satisfaire à cette condition, $\operatorname {Sin} .\alpha ,\ \operatorname {Sin} .({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha )$ et $\operatorname {Sin} .({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha )$ se-