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ront les trois racines de la proposée, ou, en d’autres termes, que l’équation (1) sera identique avec

$\left\{x-\operatorname {Sin} .\alpha \right\}\left\{x-\operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right)\right\}\left\{x-\operatorname {Sin} .\left({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha \right)\right\}=0.$ (3)

ou, en multipliant, avec

${\begin{array}{r|r|r}x^{3}\qquad -\operatorname {Sin} .\alpha &x^{2}+\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right)&x-\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\left({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha \right)\times \\&&\operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right)=0,\\-\operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right)&+\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\left({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha \right)&\\\\-\operatorname {Sin} .\left({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha \right)&+\operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right)\left({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha \right)&\end{array}}$

équation dans laquelle il s’agit présentement d’exécuter les réductions.

Or, en vertu du théorème $\operatorname {Sin} .p+\operatorname {Sin} .q=2\operatorname {Sin} .{\frac {1}{3}}(p+q)\operatorname {Cos} .{\frac {1}{2}}(p-q)$ on a d’abord

$\operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right)+\operatorname {Sin} .\left({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha \right)=2\operatorname {Sin} .(\varpi +\alpha )\operatorname {Cos} .{\frac {1}{3}}\varpi =-\operatorname {Sin} .\alpha ,$

au moyen de quoi le coefficient de $x^{2}$ s’anéantit. On conclut ensuite de là

$\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right)+\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\left({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha \right)=-\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \,;$

d’un autre côté, parce que $\operatorname {Sin} .\left({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha \right)=-\operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right),$

$\operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right)\operatorname {Sin} .\left({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha \right)=-\operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right)\operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi -\alpha \right),$

ou par la formule $\operatorname {Sin} .(p+q)\operatorname {Sin} .(p-q)={\frac {1}{2}}(\operatorname {Cos} .2q-\operatorname {Cos} .2p),$

$\operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right)\operatorname {Sin} .\left({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha \right)={\frac {1}{2}}\left(\operatorname {Cos} .{\frac {4}{3}}\varpi -\operatorname {Cos} .2\alpha \right)$

ou bien