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$\operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right)\operatorname {Sin} .\left({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha \right)=-{\frac {1}{4}}-{\frac {1}{2}}+\operatorname {Sin} .^{2}\alpha =-{\frac {3}{4}}+\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \,;$

au moyen de quoi le coefficient de $x$ se réduit à ${\frac {3}{4}}.$

Enfin, d’après ce dernier résultat

$\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right)\operatorname {Sin} .\left({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha \right)=-\operatorname {Sin} .\alpha \left({\frac {3}{4}}-\operatorname {Sin} .^{2}\alpha \right)$

ou encore (2)

$\operatorname {Sin} .\alpha \operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right)\operatorname {Sin} .\left({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha \right)=\operatorname {Sin} .^{3}\alpha -{\frac {3}{4}}\operatorname {Sin} .\alpha =-{\frac {1}{4}}m$

de sorte que le dernier terme se réduit à ${\frac {1}{4}}m.$ L’équation réduite est donc finalement

$x^{3}-{\frac {3}{4}}x+{\frac {1}{4}}m=0,$

c’est-à-dire exactement la même que la proposée qui, conséquemment doit, comme elle, avoir pour ses trois racines, $\operatorname {Sin} .\alpha ,\ \operatorname {Sin} .\left({\frac {2}{3}}\varpi +\alpha \right)$ et $\operatorname {Sin} .\left({\frac {4}{3}}\varpi +\alpha \right).$

Si l’on avait $m=+1$ ou $m=-1\,;$ ce qui pourrait être, l’équation deviendrait

$x^{3}-{\frac {3}{4}}x+{\frac {1}{4}}m=0\quad$ou$\quad x^{3}-{\frac {3}{4}}x-{\frac {1}{4}}m=0$

elle serait satisfaite par $x=+1$ ou $x=-1\,;$ on aurait donc $\alpha ={\frac {1}{6}}\varpi$ ou $\alpha ={\frac {1}{2}}\varpi \,;$ les trois racines seraient donc

$\operatorname {Sin} .{\frac {1}{6}}\varpi ,\ \operatorname {Sin} .{\frac {5}{6}}\varpi ,\ \operatorname {Sin} .{\frac {9}{6}}\varpi ,\quad$ou$\quad \operatorname {Sin} .{\frac {1}{2}}\varpi ,\ \operatorname {Sin} .{\frac {7}{6}}\varpi ,\ \operatorname {Sin} .{\frac {11}{6}}\varpi \,;$

ou bien encore

$+{\frac {1}{2}},+{\frac {1}{2}},-1\quad$ou$\quad +1,-{\frac {1}{2}},-{\frac {1}{2}}$

c’est-à-dire que, dans l’un et dans l’autre cas, elle aurait deux racines égales. On parviendrait à la même conclusion en divisant l’équation par $x-1$ ou par $x+1\,;$ le quotient serait