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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

$n!=1.2.3.4.\ldots ,n,$

on avait

${\frac {[{\overset {m}{x+y}}]}{m!}}={\frac {[{\overset {m}{x}}]}{m!}}+{\frac {[{\overset {1}{y}}]}{1}}.{\frac {[{\overset {m-1}{x}}]}{(m-1)!}}+{\frac {[{\overset {2}{y}}]}{2!}}.{\frac {[{\overset {m-2}{x}}]}{(m-2)!}}+{\frac {[{\overset {3}{y}}]}{3!}}.{\frac {[{\overset {m-3}{x}}]}{(m-3)!}}+\ldots$

Si, dans cette formule, on pose $m-=x,\ p=-1,$ et qu’on remette en place des divers symboles les développemens qu’ils représentent, en supprimant les facteurs communs aux deux termes des diverses fractions résultantes, il viendra

${\frac {x+y}{1}}.{\frac {x+y-1}{2}}.{\frac {x+y-2}{3}}\ldots {\frac {y+1}{x}}={\frac {x+y}{1}}.{\frac {x+y-1}{2}}.{\frac {x+y-2}{3}}\ldots {\frac {x+1}{y}}$

$=1+{\frac {x}{1}}.{\frac {y}{1}}+{\frac {x}{1}}.{\frac {x-1}{2}}.{\frac {y}{1}}.{\frac {y-1}{2}}+{\frac {x}{1}}.{\frac {x-1}{2}}.{\frac {x-2}{3}}.{\frac {y}{1}}.{\frac {y-1}{2}}.{\frac {y-2}{3}}+\ldots$

qui est, aux notations près, le théorème d’analise énoncé à la page 64 du présent volume.

Avant de passer à la démonstration du théorème de géométrie, il nous faut d’abord construire quelques formules propres à nous conduire à notre but.

Soit $x$ l’angle au centre d’un polygone régulier de $n$ côtés, de telle sorte qu’on ait $nxs=2\varpi$ ; en désignant par $m$ un nombre entier positif, plus petit que $n$, on aura, comme nous l’avons démontré (pag. 41).

$\operatorname {Cos} .mx+\operatorname {Cos} .2mx+\operatorname {Cos} .3mx+\ldots +\operatorname {Cos} .nmx=0,$

$\operatorname {Sin} .mx+\operatorname {Sin} .2mx+\operatorname {Sin} .3mx+\ldots +\operatorname {Sin} .nmx=0\,;$

ou, parce que $\operatorname {Cos} .nmx=\operatorname {Cos} .2m\varpi =1$ et $\operatorname {Sin} .nmx=\operatorname {Sin} .2m\varpi =0,$