équations qui expriment qu’aux points limites la chainette génératrice doit être normale aux deux hyperboles données.
En remplaçant, dans ces équations
et
par leurs valeurs, déduites de l’équation de la chainette ; savoir
![{\displaystyle p'={\frac {1}{2cc'}}\left(e^{+{\frac {x'}{c}}}-c^{2}e^{-{\frac {x'}{c}}}\right),\qquad p''={\frac {1}{2cc'}}\left(e^{+{\frac {x''}{c}}}-c^{2}e^{-{\frac {x''}{c}}}\right),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83160ee9897ac39771b8977dc7f85af5d6a4bc93)
elles deviennent
![{\displaystyle 2cc'x'^{2}-a^{2}\left(e^{+{\frac {x'}{c}}}-c^{2}e^{-{\frac {x'}{c}}}\right),\qquad 2cc'x''^{2}+b\left(e^{+{\frac {x''}{c}}}-c^{2}e^{-{\frac {x''}{c}}}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5255eaa425e46d37c89ac1232aa85ac5c182eb86)
On a d’ailleurs
![{\displaystyle y'=+{\frac {a^{2}}{x'}},\qquad y''=-{\frac {b^{2}}{x''}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b8dfb7002cf89ea371346241a6d74c815a11b00)
![{\displaystyle y'={\frac {1}{2c'}}\left(e^{+{\frac {x'}{c}}}+c^{2}e^{-{\frac {x'}{c}}}\right),\qquad y''={\frac {1}{2c'}}\left(e^{+{\frac {x''}{c}}}+c^{2}e^{-{\frac {x''}{c}}}\right)\,;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/09874214225262fd1ed52e77fd06b6a6164c4afd)
on se trouve donc avoir six équations, pour déterminer ![{\displaystyle c,c',x',y',x'',y''.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5748fc618c7ba87afb82c5da924ca3618845c5c6)
Si la courbe qui doit satisfaire au maximum ou au minimum était assujettie à des conditions de constance, comme d’avoir une aire, une longueur, etc., déterminée, il serait facile d’opérer comme il a déjà été dit.
Si cependant ces conditions, au lieu d’être exprimées par des intégrales, l’étaient par des équations algébriques ; si, par exemple, au lieu de donner
on donnait
on remplacerait d’abord
et
par leurs valeurs en
et
ce qui donnerait
d’où
Remplaçant donc
par cette valeur, on n’aurait plus que le coefficient de
à égaler à zéro, ce qui ne laisserait plus que
relations ; mais celle qui aurait disparu se trouverait alors suppléée par l’équation donnée
C’est ainsi, par