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$x_{3},\ldots x_{10},$ qu’elles renferment, les expressions $Z_{1},Z_{2},Z_{3},\ldots$ ont de grandes valeurs, et toutes du même ordre de grandeur, d’où il résulte que cette série est très-convergente, du moins dans ses premiers termes ; car les coefficiens numériques qui se trouvent à leurs numérateurs croissent indéfiniment, et finissent par rendre cette série divergente. Mais, en s’en tenant à la partie dans laquelle elle est convergente, on aura une expression très-approchée de $\int Y\operatorname {d} y\,;$ et, si nous nous bornons d’abord à son premier terme, nous aurons

$U=(s+1){\frac {\operatorname {d} .}{\operatorname {d} \alpha }}\int {\frac {\alpha \operatorname {d} Z}{Z_{1}}}1$

pour la valeur correspondante de $U.$

La valeur de $Z_{1}$ est la même chose que

$Z_{1}=s-\alpha T-\alpha (1-z)\Theta ,$

en faisant, pour abréger,

$T=x_{1}t+x_{2}t^{2}+x_{3}t^{3}+\ldots x_{10}t^{10},$

$\Theta =x_{1}\theta +x_{2}\theta ^{2}+x_{3}\theta ^{3}+\ldots x_{10}\theta ^{10},$

Si on la substitue dans $U,$ et que l’on y fasse $\alpha =1,$ après avoir effectué la différentiation indiquée, on aura

$U=\int {\frac {(1+s)s\operatorname {d} z}{\left[s-zT-(1-z)\Theta \right]^{2}}}$

et, en intégrant, depuis $z=0$ jusqu’à $z=1,$ il vient

$U={\frac {(s+1)s}{T-\Theta }}\left({\frac {1}{s-T}}-{\frac {1}{s-\Theta }}\right)={\frac {s+1}{s}}\left(1-{\frac {T}{s}}\right)^{-1}.\left(1-{\frac {\Theta }{s}}\right)^{-1}.$