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Or, les deux symboles $T$ et $\Theta$ représentant des fonctions semblables de $t$ et $\theta ,$ les coefficiens des mêmes puissances de leurs variables respectives seront les mêmes dans les développemens des deux puissances

$\left(1-{\frac {T}{s}}\right)^{-1},\qquad \left(1-{\frac {\Theta }{s}}\right)^{-1}\,;$

désignant donc par $k$ le coefficient de $it^{31},$ dans le premier des deux développemens, et appelant $p$ la probabilité du refait de $31,$ ou le coefficient de $t^{31}\theta ^{31},$ dans le développement de $U,$ nous aurons

$p={\frac {s+1}{s}}k^{2}\,;$

de sorte qu’il ne reste plus qu’à calculer la valeur numérique de ce coefficient $k.$

8. Avant d’effectuer ce calcul, nous observerons que la quantité $k$ serait la probabilité de $31$ simple, et, par conséquent, $k^{2}$ celle du refait de $31,$ si l’on remettait les cartes dans le jeu, à mesure qu’elles sortent. En effet, dans cette hypothèse, il est aisé de voir, d’après la théorie des combinaisons, que la probabilité d’amener une somme donnée $x,$ dans un nombre déterminé $m$ de tirages successifs, n’est autre chose que le coefficient de $t^{x}$, dans le développement de la puissance

$\left({\frac {x_{1}}{s}}t+{\frac {x_{2}}{s}}t^{2}+{\frac {x_{3}}{s}}t^{3}+\ldots {\frac {x_{10}}{s}}t^{10}\right)^{m},$

ou de ${\frac {T^{m}}{s^{m}}}\,;$ par conséquent, la probabilité d’amener cette même somme en un nombre quelconque de tirages sera le coefficient de $t^{n}$ dans le développement de la série