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 Les corrections sont expliquées en page de discussion

respectivement entre elles dans le rapport constant du sinus d’incidence au sinus de réfraction.

On conclut de là immédiatement que $(X,Y)$ étant le point d’incidence, $(x,y),(x',y')$ les pieds des normales abaissées de ce point sur les deux trajectoires, et le rapport constant de $\lambda$ à $\lambda '$ celui de leurs longueurs ; en posant

$\operatorname {d} Y=P\operatorname {d} X,\qquad \operatorname {d} y=p\operatorname {d} x,\qquad \operatorname {d} y'=p'\operatorname {d} x'\,;$

on aura les quatre équations

${\frac {(X-x)^{2}+(Y-y)^{2}}{\lambda ^{2}}}={\frac {(X-x')^{2}+(Y-y')^{2}}{\lambda '^{2}}},\qquad$(1)

$(X-x)+p(Y-y)=0,\quad$(2)$\qquad (X-x')+p'(Y-y')=0,\quad$(2′)

${\frac {(X-x)+P(Y-y)}{\lambda ^{2}}}={\frac {(X-x')+P(Y-y')}{\lambda '}},\qquad$(3)^[1]

dont la dernière est comportée par les trois autres.

Puisque ces équations n’équivalent qu’à trois seulement, et que d’ailleurs chacune des trois courbes se trouve déterminée par les deux autres, il s’ensuit que, des six variables $X,Y,x,y,x',y',$ une seule doit être regardée comme indépendante. Prenons $X$ pour telle, et posons

$\operatorname {d} P=Q\operatorname {d} X,\qquad \operatorname {d} p=q\operatorname {d} x,\qquad \operatorname {d} p'=q'\operatorname {d} x',$

nous aurons

${\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} X}}={\frac {\operatorname {d} y}{\operatorname {d} x}}.{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} X}}=p{\frac {\operatorname {d} x}{\operatorname {d} X}}\,;\qquad {\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} X}}={\frac {\operatorname {d} y'}{\operatorname {d} x'}}.{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} X}}=p'{\frac {\operatorname {d} x'}{\operatorname {d} X}}.$

1. Voy. la page 66 du présent volume.